Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+x+b在（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1．
（1）求a，b的值；
（2）設函數(shù)g（x）=-（1+k）x²+x+2，若在x∈（0，3）內(nèi)，函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的下方，則求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導函數(shù)可得f′（x）=3x²-2ax+1
∵函數(shù)f（x）=x³-ax²+x+b在（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1
∴f′（1）=4-2a=2，∴a=1
∵x=1時，y=2+1=3，∴f（1）=3
將（1，3）代入函數(shù)解析式，可得b=2；
（2）設T（x）=f（x）-g（x）=x³+kx²，T′（x）=3x（x+）
①當k=0時，T′（x）=3x²，在x∈（0，3）內(nèi)，T′（x）＞0，即T（x）單調(diào)遞增
∵T（x）＞T（0）=0
∴f（x）＞g（x）
∴函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的上方，故不合題意；
②當k＞0時，在x∈（0，3）內(nèi)，T′（x）＞0，即T（x）單調(diào)遞增
∵T（x）＞T（0）=0
∴f（x）＞g（x）
∴函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的上方，故不合題意；
③當k＜0時，
若，即k≤-時，在x∈（0，3）內(nèi)，T′（x）＜0，即T（x）單調(diào)遞減
∵T（x）＜T（0）=0
∴f（x）＜g（x）
∴函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的下方，符合題意；
若0＜-k＜3，即時，在x∈（0，-k）內(nèi)，T′（x）＜0，即T（x）單調(diào)遞減；在x∈（-k，3）內(nèi)，T′（x）＞0，即T（x）單調(diào)遞增
∵在x∈（0，3）內(nèi)，函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的下方，
∴T（3）≤0，∴k≤-3
∵，∴
綜上，k的取值范圍為（-∞，-3]．
分析：（1）由題意，利用導數(shù)的幾何含義及切點的坐標建立a，b的方程，然后求解即可；
（2）構造函數(shù)T（x）=f（x）-g（x）=x³+kx²，求導函數(shù)，分類討論：①當k=0時，在x∈（0，3）內(nèi)，T（x）單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的上方；②當k＞0時，在x∈（0，3）內(nèi)，T（x）單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的上方；③當k＜0時，若，即k≤-時，在x∈（0，3）內(nèi)，T（x）單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的下方；若0＜-k＜3，即時，利用T（3）≤0，即可求得結論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查構造新函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，解題的關鍵是正確分類，確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．