(本小題滿分14分)
在數(shù)列中,,其中
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前項和
(Ⅲ)證明存在,使得對任意均成立.
(Ⅰ)
(Ⅱ)當時,①式減去②式,數(shù)列的前項和
時,.這時數(shù)列的前項和
(Ⅲ)存在,使得對任意均成立。
(Ⅰ)解法一:,
,

由此可猜想出數(shù)列的通項公式為
以下用數(shù)學歸納法證明.
(1)當時,,等式成立.
(2)假設當時等式成立,即,
那么

這就是說,當時等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,等式對任何都成立.
解法二:由,
可得,
所以為等差數(shù)列,其公差為1,首項為0,故,所以數(shù)列的通項公式為
(Ⅱ)解:設,   ①
       、
時,①式減去②式,


這時數(shù)列的前項和
時,.這時數(shù)列的前項和
(Ⅲ)證明:通過分析,推測數(shù)列的第一項最大,下面證明:
.    ③
,要使③式成立,只要
因為


所以③式成立.
因此,存在,使得對任意均成立.
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