Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項之和S_n滿足關(guān)系式：3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t（t＞0，n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為f（t），數(shù)列{b_n}滿足bn+1=f(

1

bn

)，(n∈N*)，且b₁=1．
（i）求數(shù)列{b_n}的通項b_n；
（ii）設(shè)T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n≥2），兩式相減可得數(shù)列a_n+1與a_n的遞推關(guān)系并作商得

an+1

an

=

2t+3

3t

，再驗證

a2

a1

=

2t+3

3t

即得證；
（2）由（1）求出f（t），把f（t）的解析式代入b_n，得b_n+1=

2

3

+b_n，判斷出{b_n}是一個首項為1，公差為

2

3

的等差數(shù)列．進而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得答案；
（3）把式子b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1化簡，根據(jù){b_n}是等差數(shù)列，代入前n項和公式，注意公差的變化，再進行化簡．

解答：（1）證明：∵3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t，
∴3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，（n≥2），
兩式相減得3ta_n+1-（2t+3）a_n=0，
又∵t＞0，∴

an+1

an

=

2t+3

3t

（n≥2），
當n=2時，3tS₂-（2t+3）S₁=3t，
即3t（a₁+a₂）-（2t+3）a₁=3t，且a₁=1，
得a₂=

2t+3

3t

，則

a2

a1

=

2t+3

3t

，
即

an+1

an

=

2t+3

3t

對n≥1都成立，
∴{a_n}為以1為首項，

2t+3

3t

為公比的等比數(shù)列，
（2）解：由已知得，f（t）=

2t+3

3t

，
∴bn+1=f(

1

bn

)=

2 bn +3

3 bn

=

2+3bn

3

=

2

3

+bn，
即bn+1-bn=

2

3

，
∴{b_n}是一個首項為1，公差為

2

3

的等差數(shù)列，
則b_n=1+（n-1）×

2

3

=

2

3

n+

1

3

，
（3）解：T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1?
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）=-2d（b₂+b₄+…+b_2n）
=-2×

2

3

（b₂+b₄+…+b_2n）=-2×

2

3

[

5

3

n+

n(n-1)

2

×

4

3

]
=-

8

9

n2-

4

3

n．

點評：本題考查了利用遞推關(guān)系實現(xiàn)數(shù)列和與項的相互轉(zhuǎn)化，進而求遞推公式，再進行判斷數(shù)列的特點，考查了等比數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式的運用，數(shù)列的求和等問題，以及運算能力．