Question

【題目】已知函數(shù)，且曲線在處的切線與平行.

（1）求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，試探究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析: （1）根據(jù)曲線在處的切線與平行可得: ,進(jìn)而求出a值; （2）①當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在單調(diào)遞增，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得: 在上只有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)， 恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性與最值可得，

又時(shí)， ，所以，即，故函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得:函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

試題解析:解：（1）依題意，故，

故，解得.

（2）①當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)， ，

函數(shù)在單調(diào)遞增，

故函數(shù)在至多有一個(gè)零點(diǎn)，又，

而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，因此函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)， 恒成立，證明如下：

設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，

所以時(shí)， ，所以，

又時(shí)， ，所以，即，

故函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，

③當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在至多有一個(gè)零點(diǎn)，

又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，

因此，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).