【題目】已知直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;
(2)若過且與直線垂直的直線與曲線相交于、兩點(diǎn),求.
【答案】(1),;(2)
【解析】
(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化即可得直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;
(2)根據(jù)直線與直線垂直且過,可得直線的參數(shù)方程.將直線的參數(shù)方程與曲線聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理及參數(shù)方程的幾何意義即可求得.
(1)由直線極坐標(biāo)方程為,即,
根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,可得直線直角坐標(biāo)方程:,
由曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則,
整理得橢圓的普通方程為.
(2)由已知直線與垂直,所以直線的傾斜角為,
直線的參數(shù)方程為,即(為參數(shù)),
把直線的參數(shù)方程代入
化簡得
設(shè),是上述方程的兩個實根,則有
又直線過點(diǎn)
故由上式及的幾何意義得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓與直線有且只有一個交點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上任一點(diǎn),,.若的最小值為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),且,當(dāng)的面積S最大時,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深入人心,這將推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.下表是近幾年我國某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
銷量(萬臺) | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
某機(jī)構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)30位購車車主的性別與購車種類情況,得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:
購置傳統(tǒng)燃油車 | 購置新能源車 | 總計 | |
男性車主 | 6 | 24 | |
女性車主 | 2 | ||
總計 | 30 |
(1)求新能源乘用車的銷量關(guān)于年份的線性相關(guān)系數(shù),并判斷與是否線性相關(guān);
(2)請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關(guān);
(3)若以這30名購車車主中購置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區(qū)購置新能源乘用車的車主性別比例,從該地區(qū)購置新能源乘用車的車主中隨機(jī)選取50人,記選到女性車主的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望與方差.
參考公式:,,其中.,若,則可判斷與線性相關(guān).
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:()的焦距為4,其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn),T為直線上任意一點(diǎn),過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q.
(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn));
(ii)當(dāng)最小時,求點(diǎn)T的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在上的函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,且在任意區(qū)間上都不是常值函數(shù).設(shè),其中分點(diǎn)將區(qū)間任意劃分成個小區(qū)間,記,稱為關(guān)于區(qū)間的階劃分“落差總和”.
當(dāng)取得最大值且取得最小值時,稱存在“最佳劃分”.
(1)已知,求的最大值;
(2)已知,求證:在上存在“最佳劃分”的充要條件是在上單調(diào)遞增.
(3)若是偶函數(shù)且存在“最佳劃分”,求證:是偶數(shù),且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)對任意的,,,恒有,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動點(diǎn)P到直線的距離與到點(diǎn)的距離之比為.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡;
(2)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B在軸的上方):
①當(dāng)A為橢圓與軸的正半軸的交點(diǎn)時,求直線的方程;
②對于動直線,是否存在一個定點(diǎn),無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征,是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑,正被廣泛采用.每次考試過后,考生最關(guān)心的問題是:自己的考試名次是多少?自已能否被錄取?能獲得什么樣的職位?
某單位準(zhǔn)備通過考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用名,其中個高薪職位和個普薪職位.實際報名人數(shù)為名,考試滿分為分. 考試后對部分考生考試成績進(jìn)行抽樣分析,得到頻率分布直方圖如下:
試結(jié)合此頻率分布直方圖估計:
(1)此次考試的中位數(shù)是多少分(保留為整數(shù))?
(2)若考生甲的成績?yōu)?/span>280分,能否被錄取?若能被錄取,能否獲得高薪職位?(分?jǐn)?shù)精確到個位,概率精確到千分位)
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