【題目】已知函數(shù)．

（1）設,

①當時，求曲線在點處的切線方程；

②當時，求證：對任意恒成立．

（2）討論的極值點個數(shù)．

【答案】（1）①；②證明見解析；（2）當時，有且僅有一個極值點；當時，有三個極值點

【解析】

（1）①將代入，求出切點及斜率，利用點斜式即可得切線方程；

②只需證時，對任意都成立，利用導數(shù)求其最值即可得證；
（2）只有一個極值點或三個極值點，令，當只有一個極值點時，的圖象必穿過軸且只穿過一次，即為單調(diào)減函數(shù)或者極值同號，分類討論即可得解，同理可求當有三個極值點時的情況.

解：（1），
①當時，，
∴切線方程為；
②證明：要證對任意，，

只需證時，對任意都成立，
，

令得，
且時，單減，時，單增，
，
在上單增，
，
∴當時，對任意恒成立.
（2），，則
只有一個極值點或三個極值點，
令，當只有一個極值點時，的圖象必穿過軸且只穿過一次，即為單調(diào)減函數(shù)或者極值同號，
（i）為單調(diào)減函數(shù)時，在上恒成立，則，解得；
（ii）極值同號時，設為極值點，

則有解，則，
且，，
，
同理，
，

化簡得，
，解得，
∴當時，只有一個極值點；
當有三個極值點時，，同理可得，
綜上，當時，有且僅有一個極值點；當時，有三個極值點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，面，，，，.

（1）證明：平面；

（2）若為中點，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某高校共有學生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300名學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時）.

（1）應收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？

（2）根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：，，，，，，估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率；

（3）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“該校學生的毎周平均體育運動時間與性別有關”.

男生

女生

總計

每周平均體育運動時間不超過4小時

每周平均體育運動時間超過4小時

總計

附：，其中.

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年雙十一落下帷幕，天貓交易額定格在268（單位：十億元）人民幣（下同），再創(chuàng)新高，比去年218（十億元）多了50（十億元）．這些數(shù)字的背后，除了是消費者買買買的表現(xiàn)，更是購物車里中國新消費的奇跡，為了研究歷年銷售額的變化趨勢，一機構統(tǒng)計了2010年到2019年天貓雙十一的銷售額數(shù)據(jù)y（單位：十億元），繪制如表：

年份

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

編號x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

銷售額y

0.9

8.7

22.4

41

65

94

132.5

172.5

218

268

根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖，如圖所示

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為銷售額關于的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結果及如表中的數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程，并預測2020年天貓雙十一銷售額；（注：數(shù)據(jù)保留小數(shù)點后一位）

（3）把銷售超過100（十億元）的年份叫“暢銷年”，把銷售額超過200（十億元）的年份叫“狂歡年”，從2010年到2019年這十年的“暢銷年”中任取2個，求至少取到一個“狂歡年”的概率．

參考數(shù)據(jù)：

參考公式：

對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；

（ii）當最小時，求點T的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學為研究學生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關系，對該校名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）

將學生日均體育鍛煉時間在的學生評價為“鍛煉達標”．

（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表：

并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關？

（2）在“鍛煉達標”的學生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進行體育鍛煉體會交流．

（i）求這人中，男生、女生各有多少人？

（ii）從參加體會交流的人中，隨機選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．

參考公式：，其中．

臨界值表：

0.10

0.05

0.025

0.010

0

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為了預測下月產(chǎn)品銷售情況，找出了近7個月的產(chǎn)品銷售量（單位：萬件）的統(tǒng)計表：

月份代碼

1

2

3

4

5

6

7

銷售量（萬件）

但其中數(shù)據(jù)污損不清，經(jīng)查證，，.

（1）請用相關系數(shù)說明銷售量與月份代碼有很強的線性相關關系；

（2）求關于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

（3）公司經(jīng)營期間的廣告宣傳費（單位：萬元）（），每件產(chǎn)品的銷售價為10元，預測第8個月的毛利潤能否突破15萬元，請說明理由.（毛利潤等于銷售金額減去廣告宣傳費）

參考公式及數(shù)據(jù)：，相關系數(shù)，當時認為兩個變量有很強的線性相關關系，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某地區(qū)某種昆蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關.現(xiàn)收集了一只該品種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（個）和溫度（）的7組觀測數(shù)據(jù)，其散點圖如所示：

根據(jù)散點圖，結合函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)卵數(shù)和溫度可用方程來擬合，令，結合樣本數(shù)據(jù)可知與溫度可用線性回歸方程來擬合．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值：

27

74

182

表中，．

（1）求和溫度的回歸方程（回歸系數(shù)結果精確到）；

（2）求產(chǎn)卵數(shù)關于溫度的回歸方程；若該地區(qū)一段時間內(nèi)的氣溫在之間（包括與），估計該品種一只昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)的范圍.（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）

附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD，現(xiàn)計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F，為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF，設

Ⅰ為減少對周邊區(qū)域的影響，試確定E，F的位置，使與的面積之和最��；

Ⅱ為節(jié)省建設成本，求使的值最小時AE和BF的值．

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