Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=

1

2

CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面BCE，△BCE為等邊三角形，M，F(xiàn)分別是BE，BC的中點，DN=

1

4

DC．
（1）證明：EF⊥AD；
（2）證明：MN∥平面ADE；
（3）若AB=1，BC=2，求幾何體ABCDE的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明出EF⊥BC，進而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)判斷出EF⊥平面ABCD，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明出EF⊥AD．
（2）取AE中點G，連接MG，DG，先證明出四邊形DGMN是平行四邊形，推斷出DG∥MN，進而根據(jù)線面平行的判定定理證明出MN∥平面ADE．
（3）利用梯形面積公式求得底面面積，進而在三角形△BCE中求得EF，最后求得體積．

解答： （1）證明：∵△BCE為等邊三角形，F(xiàn)是BC的中點，
∴EF⊥BC，
又∵平面ABCD⊥平面BCE，交線為BC，EF?平面BCE
∴EF⊥平面ABCD；             
又∵AD?平面ABCD，
∴EF⊥AD．

（2）證明：取AE中點G，連接MG，DG，
∵AG=GE，BM=ME，
∴GM∥AB，且GM=

1

2

AB，
∵AB∥CD，AB=

1

2

CD，DN=

1

4

DC，
∴DN∥AB，且DN=

1

2

AB，
∴四邊形DGMN是平行四邊形，
∴DG∥MN，
又∵DG?平面ADE，MN?平面ADE，
∴MN∥平面ADE
（3）依題，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，CD=2，BC=2
則直角梯形ABCD的面積為S梯形ABCD=

1

2

(AB+CD)×BC=

1

2

(1+2)×2=3，
由（1）可知EF⊥平面ABCD，即EF是四棱錐E-ABCD的高
在等邊△BCE中，由邊長BC=2，得EF=2×sin600=

3

，
故幾何體ABCDE的體積為V E-ABCD=

1

3

•S梯形ABCD•EF=

1

3

×3×

3

=

3

．

點評：本題主要考查了線面垂直和線面平行的判定定理的應(yīng)用．考查了學生分析能力和空間觀察能力．