【題目】如圖,直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,如圖,以C為原點,分別以CA,CB,CC1為x,y,z軸建立空間直角坐標系.
(1)求平面A1B1C的法向量;
(2)求直線AC與平面A1B1C夾角的正弦值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)v=(x0,y0,z0)為平面A1B1C的法向量,則v·=x0+2z0=0,v· =y0+2z0=0,解方程組即得平面A1B1C的法向量.(2)利用向量法求直線AC與平面A1B1C夾角的正弦值.
(1)由題意可知C(0,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),故=(1,0,2),=(0,1,2),
設v=(x0,y0,z0)為平面A1B1C的法向量,則
v·=(x0,y0,z0)(1,0,2)=x0+2z0=0,
v·=(x0,y0,z0)(0,1,2)=y0+2z0=0,
即令z0=1,則v=(-2,-2,1).
(2)設直線AC與平面A1B1C夾角為θ,而=(1,0,0),
所以直線AC與平面A1B1C夾角的正弦值sinθ
=.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,雙曲線 =1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為 .
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【題目】已知拋物線C:y2=2px過點P(1,1).過點(0, )作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點A,B,其中O為原點.(14分)
(1)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標和準線方程;
(2)求證:A為線段BM的中點.
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【題目】如圖,在同一個平面內(nèi),向量 , , 的模分別為1,1, , 與 的夾角為α,且tanα=7, 與 的夾角為45°.若 =m +n (m,n∈R),則m+n= .
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點,直線,設圓的半徑為1, 圓心在上.
(1)若圓心也在直線上,過點作圓的切線,求切線方程;
(2)若圓上存在點,使,求圓心的橫坐標的取值范圍.
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【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長2的正方形,E,F(xiàn)分別為線段DD1,BD的中點.
(1)求證:EF∥平面ABC1D1;
(2)AA1=2,求異面直線EF與BC所成的角的大。
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x.(12分)
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.
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