【題目】已知圓C過點M(0,﹣2),N(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)問是否存在滿足以下兩個條件的直線l:①斜率為1;②直線被圓C截得的弦為AB,以AB為直徑的圓C1過原點.若存在這樣的直線,請求出其方程;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0
則 解得D=﹣6,E=4,F(xiàn)=4
∴圓C方程為x2+y2﹣6x+4y+4=0
(2)解:設直線存在,其方程為y=x+b,它與圓C的交點設為A(x1,y1)、B(x2,y2),
則由 得2x2+2(b﹣1)x+b2+4b+4=0(*)
∴
∴y1y2=(x1+b)(x2+b)= ,
∵AB為直徑,∴,∠AOB=90°,∴OA2+OB2=AB2,
∴
得x1x2+y1y2=0,
∴ ,
即b2+4b+4+b(1﹣b)+b2=0,b2+5b+4=0,∴b=﹣1或b=﹣4
容易驗證b=﹣1或b=﹣4時方程(*)有實根.
故存在這樣的直線l有兩條,其方程是y=x﹣1或y=x﹣4.
【解析】(1)設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,利用點在圓上,圓心在直線上,列出方程組,解得D,E,F(xiàn),即可求得圓C方程.(2)設直線存在,其方程為y=x+b,它與圓C的交點設為A(x1 , y1)、B(x2 , y2),利用直線與圓的方程聯(lián)立方程組,利用韋達定理,推出x1x2 , y1y2 , 利用垂直關系得到 ,求得b=﹣1或b=﹣4時方程(*)有實根.說明存在這樣的直線l有兩條,即可.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設橢圓的右焦點為,右頂點為.已知,其中為原點, 為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程及離心率的值;
(2)設過點的直線與橢圓交于點(不在軸上),垂直于的直線與交于點,與軸交于點.若,且,求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點為O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)證明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,BC=2,求B1到平面ABC的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將參加數(shù)學競賽的1000名學生編號如下:0001,0002,003,…,1000,打算從中抽取一個容量為50的樣本,按系統(tǒng)抽樣的方法把編號分成50個部分,如果第一部分編號為0001,0002,0003,…,0020,第一部分隨機抽取一個號碼為0013,那么抽取的第40個號碼 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(0,2)和B(1,1),且圓心C在直線l:x+y+5=0上.
(1)求圓C的標準方程;
(2)若P(x,y)是圓C上的動點,求3x﹣4y的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求的極值;
(Ⅱ)當時,討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對于任意的都有,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了得到函數(shù)y=2sin(2x+ )的圖象,只需把函數(shù)y=2sinx的圖象( )
A.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變)
B.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍(縱坐標不變)
C.各點的縱坐標不變、橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,再把所得圖象向左平移 個單位長度
D.各點的縱坐標不變、橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍,再把所得圖象向左平移 個單位長度
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