【題目】已知直線l的方程為y=x+2,點P是拋物線y2=4x上到直線l距離最小的點,點A是拋物線上異于點P的點,直線AP與直線l交于點Q,過點Q與x軸平行的直線與拋物線y2=4x交于點B.
(Ⅰ)求點P的坐標;
(Ⅱ)證明直線AB恒過定點,并求這個定點的坐標.
【答案】解:(Ⅰ)設點P的坐標為(x0,y0),則 ,
所以,點P到直線l的距離 .
當且僅當y0=2時等號成立,此時P點坐標為(1,2).
(Ⅱ)設點A的坐標為 ,顯然y1≠2.
當y1=﹣2時,A點坐標為(1,﹣2),直線AP的方程為x=1;可得B( ,3),直線AB:y=4x﹣6;
當y1≠﹣2時,直線AP的方程為 ,
化簡得4x﹣(y1+2)y+2y1=0;
綜上,直線AP的方程為4x﹣(y1+2)y+2y1=0.
與直線l的方程y=x+2聯(lián)立,可得點Q的縱坐標為 .
因為,BQ∥x軸,所以B點的縱坐標為 .
因此,B點的坐標為 .
當 ,即 時,直線AB的斜率 .
所以直線AB的方程為 ,
整理得 .
當x=2,y=2時,上式對任意y1恒成立,
此時,直線AB恒過定點(2,2),也在y=4x﹣6上,
當 時,直線AB的方程為x=2,仍過定點(2,2),
故符合題意的直線AB恒過定點(2,2)
【解析】(Ⅰ)利用點到直線的距離公式,求出最小值,然后求點P的坐標;(Ⅱ)設點A的坐標為 ,顯然y1≠2.通過當y1=﹣2時,求出直線AP的方程為x=1;當y1≠﹣2時,求出直線AP的方程,然后求出Q的坐標,求出B點的坐標,解出直線AB的斜率,推出AB的方程,判斷直線AB恒過定點推出結果.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,△PAD為正三角形,四邊形ABCD為直角梯形,CD∥AB,BC⊥AB,平面PAD⊥平面ABCD,點E、F分別為AD、CP的中點,AD=AB=2CD=2.
(Ⅰ)證明:直線EF∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】共享單車進駐城市,綠色出行引領時尚,某市有統(tǒng)計數(shù)據顯示,2016年該市共享單車用戶年齡等級分布如圖1所示,一周內市民使用單車的頻率分布扇形圖如圖2所示,若將共享單車用戶按照年齡分為“年輕人”(20歲~39歲)和“非年輕人”(19歲及以下或者40歲及以上)兩類,將一周內使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經常使用單車用戶”,使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用單車用戶”,已知在“經常使用單車用戶”中有 是“年輕人”.
(Ⅰ)現(xiàn)對該市市民進行“經常使用共享單車與年齡關系”的調查,采用隨機抽樣的方法,抽取一個容量為200的樣本,請你根據圖表中的數(shù)據,補全下列2×2列聯(lián)表,并根據列聯(lián)表的獨立性檢驗,判斷能有多大把握可以認為經常使用共享單車與年齡有關?
使用共享單車情況與年齡列聯(lián)表
年輕人 | 非年輕人 | 合計 | |
經常使用共享單車用戶 | 120 | ||
不常使用共享單車用戶 | 80 | ||
合計 | 160 | 40 | 200 |
(Ⅱ)將頻率視為概率,若從該市市民中隨機任取3人,設其中經常使用共享單車的“非年輕人”人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列與期望.
(參考數(shù)據:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
其中,K2= ,n=a+b+c+d)
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【題目】以直角坐標系原點O為極點,x軸正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線l的參數(shù)方程為 ,曲線C的極坐標方程為
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)設直線A與曲線C相交于A,B兩點,已知定點P( ,0),當α= 時,求|PA|+|PB|的值.
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【題目】已知橢圓M: (a>b>0)的一個焦點為F(1,0),離心率為 ,過點F的動直線交M于A,B兩點,若x軸上的點P(t,0)使得∠APO=∠BPO總成立(O為坐標原點),則t=( )
A.2
B.
C.
D.﹣2
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【題目】設a,b是不相等的兩個正數(shù),且blna﹣alnb=a﹣b,給出下列結論:①a+b﹣ab>1;②a+b>2;③ + >2.其中所有正確結論的序號是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
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【題目】在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且 = .
(Ⅰ)求角B的大;
(Ⅱ)點D滿足 =2 ,且線段AD=3,求2a+c的最大值.
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【題目】已知橢圓 的焦點和上頂點分別為F1、F2、B,定義:△F1BF2為橢圓C的“特征三角形”,如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形,那么稱這兩個橢圓為“相似橢圓”,且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比,已知點 是橢圓 的一個焦點,且C1上任意一點到它的兩焦點的距離之和為4.
(1)若橢圓C2與橢圓C1相似,且C2與C1的相似比為2:1,求橢圓C2的方程;
(2)已知點P(m,n)(mn≠0)是橢圓C1上的任意一點,若點Q是直線y=nx與拋物線 異于原點的交點,證明:點Q一定在雙曲線4x2﹣4y2=1上;
(3)已知直線l:y=x+1,與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb , 是否存在正方形ABCD,(設其面積為S),使得A、C在直線l上,B、D在曲線Cb上?若存在,求出函數(shù)S=f(b)的解析式及定義域;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知過點A(﹣2,0)的直線與x=2相交于點C,過點B(2,0)的直線與x=﹣2相交于點D,若直線CD與圓x2+y2=4相切,則直線AC與BD的交點M的軌跡方程為 .
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