【題目】已知橢圓 的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,定義:△F1BF2為橢圓C的“特征三角形”,如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形,那么稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”,且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比,已知點(diǎn) 是橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn),且C1上任意一點(diǎn)到它的兩焦點(diǎn)的距離之和為4.
(1)若橢圓C2與橢圓C1相似,且C2與C1的相似比為2:1,求橢圓C2的方程;
(2)已知點(diǎn)P(m,n)(mn≠0)是橢圓C1上的任意一點(diǎn),若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線 異于原點(diǎn)的交點(diǎn),證明:點(diǎn)Q一定在雙曲線4x2﹣4y2=1上;
(3)已知直線l:y=x+1,與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb , 是否存在正方形ABCD,(設(shè)其面積為S),使得A、C在直線l上,B、D在曲線Cb上?若存在,求出函數(shù)S=f(b)的解析式及定義域;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為 ,|PF1|+|PF2|=2a=4,

∴b2=a2﹣c2=1,則橢圓C1 ,

設(shè)C2 ,相似比為2,a2=4;b2=2,

∴橢圓C2


(2)證明:點(diǎn)P(m,n)在橢圓上,則 ,設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),

,

∴4x02﹣4y02= = = =1,

∴點(diǎn)Q在雙曲線4x2﹣4y2=1上


(3)解:橢圓C1 ,相似比為b,則橢圓Cb的方程為: ,

由題意:只需Cb上存在兩點(diǎn)B、D關(guān)于直線y=x+1對稱即可

設(shè)BD:y=﹣x+m,設(shè)BD中點(diǎn)為E(x0,y0),B(x1,y1),D(x2,y2),

,5x2﹣8mx+4m2﹣4b2=0,

△=64m2﹣16×5×(m2﹣b2)>0,5b2>m2,

由韋達(dá)定理知:x0= ,y0=﹣x0+m= m,

E(x0,y0)在直線y=x+1上,

m= +1

解得:m=﹣ ,∴b2 ,則b> ,

此時(shí)正方形的邊長為 ,

∴正方形的面積為S=f(b)=( 2,

丨BD丨= = ,

∴函數(shù)S=f(b)的解析式: ,定義域?yàn)?


【解析】(1)由題意c= ,a=2,則b2=a2﹣c2=1,即可求得橢圓C1的方程,根據(jù)相似比2,a2=4;b2=2,即可求得橢圓C2的方程;(2)由題設(shè)條件知 ,設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),由題設(shè)條件能推出 ,即可求得 ,即可求得4x2﹣4y2=1;(3)橢圓C1 ,相似比為b,則橢圓Cb的方程,由題意:只需Cb上存在兩點(diǎn)B、D關(guān)于直線y=x+1對稱即可.設(shè)BD:y=﹣x+m,代入橢圓方程,設(shè)BD中點(diǎn)為E(x0,y0),然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

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(2)若BD=2DC,且AD=3 ,求DC的長.

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(Ⅰ)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅱ)證明直線AB恒過定點(diǎn),并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

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(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Tn= ,若對于一切正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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A.f(2)<f(﹣2)<f(0)
B.f(0)<f(2)<f(﹣2)
C.f(﹣2)<f(0)<f(2)
D.f(2)<f(0)<f(﹣2)

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【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足f(﹣ +x)=f( +x),當(dāng)x∈[0, ]時(shí),f(x)=ln(x2﹣x+1),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(
A.3
B.5
C.7
D.9

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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (0≤α<π,t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=
(Ⅰ)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并說明曲線C的形狀;
(Ⅱ)若直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,0),求直線l被曲線C截得的線段AB的長.

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