已知函數(shù)的定義域為，且滿足條件：①，②③當.

（1）求證：函數(shù)為偶函數(shù)；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）求不等式的解集

 

【答案】

解：（1）在①中令x=y=1, 得f(1)= f(1)+ f(1) f(1)=0,

令x=y=－1, 得f(1)= f(－1)+ f(－1) f(－1)=0,

再令y=－1, 得f(－x)= f(x)+ f(－1) f(x), ∴f(x)為偶函 數(shù)；

（2）在①中令

先討論上的單調(diào)性， 任取x1http://www.zxxk.com/x2，設x2>x1>0，

由③知：>0，∴f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∵偶函數(shù)圖象關于y軸對稱 ，∴f(x)在（－∞，0）上是減函數(shù)；[來源:Z+xx+k.Com]

（3）∵f[x(x－3)]= f(x)+ f(x－3)≤2， 由①②得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(4)= f(－4)，

1）若x(x－3)>0 , ∵f(x)在（0，+∞）上為增函數(shù)，

由f[x(x－3)] ≤f(4) 得

2）若x(x－3)<0, ∵f(x)在（－∞，0）上為減函數(shù)；

由f[x(x－3)] ≤f(－4)得 

∴原不等式的解集為：

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)的定義域為（0，+∞），且單調(diào)遞增，滿足f（4）=1，f（xy）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）證明：f（1）=0；
（Ⅱ）若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)的定義域為R，對任意的x1，x2都滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），當x＞0時，f（x）＞0．
（I）試判斷并證明f（x）的奇偶性；
（II）試判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（III）若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0對所有的θ∈[0，
π2
]均成立，求實數(shù)m 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年浙江省杭州市七校高三上學期期中聯(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)的定義域為，

（1）求；

（2）若，且是的真子集，求實數(shù)的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆遼寧朝陽高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)的定義域為,部分對應值如下表。的導函數(shù)的圖像如圖所示。

0

下列關于函數(shù)的命題：

①函數(shù)在上是減函數(shù)；②如果當時，最大值是，那么的最大值為；③函數(shù)有個零點，則；④已知是的一個單調(diào)遞減區(qū)間，則的最大值為。

其中真命題的個數(shù)是（           ）

A、4個    B、3個  C、2個  D、1個

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年海南省�？谑懈呷呖颊{(diào)研考試理科數(shù)學 題型：選擇題

已知函數(shù)的定義域為，且，為的導函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示.若正數(shù),滿足,則的取值范圍是

    A．    B．  C．    D．

 

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