【題目】已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率,虛軸長為2.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與雙曲線相交于兩點(diǎn),( 均異于左、右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過雙曲線的左頂點(diǎn),求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1) (2) 證明見解析,定點(diǎn)坐標(biāo)為
【解析】試題分析:(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,一般方法為待定系數(shù)法,即根據(jù)題意列出兩個獨(dú)立條件: ,解方程組得(2)以為直徑的圓過雙曲線的左頂點(diǎn),等價于,根據(jù)向量數(shù)量積得,結(jié)合直線方程得,利用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組,消y得,再利用韋達(dá)定理代入等式整理得,因此或.逐一代入得當(dāng)時, 的方程為,直線過定點(diǎn).
試題解析:(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為, 由已知得又,解得,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè),聯(lián)立,得,有,,以為直徑的圓過雙曲線的左頂點(diǎn),,即,,解得或.當(dāng)時, 的方程為,直線過定點(diǎn),與已知矛盾;當(dāng)時, 的方程為,直線過定點(diǎn),經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件, 所以直線過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中)的圖象與x軸的相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為,且圖象上一個最高點(diǎn)為
(1)求的解析式;
(2)當(dāng),求的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)橢圓 (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 點(diǎn)D在橢圓上.DF1⊥F1F2 , =2 ,△DF1F2的面積為 .
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個交點(diǎn),且圓在這兩個交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn),求圓的半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知被直線, 分成面積相等的四個部分,且截軸所得線段的長為2.
(1)求的方程;
(2)若存在過點(diǎn)的直線與相交于, 兩點(diǎn),且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】一條光線從點(diǎn)(﹣2,﹣3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為( )
A.﹣或﹣
B.﹣或﹣
C.﹣或﹣
D.﹣或﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中不正確的是( )
A. 兩直線的斜率存在時,它們垂直的等價條件是其斜率之積為-1
B. 如果方程Ax+By+C=0表示的直線是y軸,那么系數(shù)A,B,C滿足A≠0,B=C=0
C. Ax+By+C=0和2Ax+2By+C+1=0表示兩條平行直線的等價條件是A2+B2≠0且C≠1
D. 與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程可設(shè)為Bx+Ay+m=0(m為參數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
性別 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
(1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;
(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?
附:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn).
(Ⅰ)如果點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為,求;
(Ⅱ)若為軸上異于的點(diǎn),且,求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】求滿足下列條件的直線的方程:
(1)直線經(jīng)過點(diǎn),并且它的傾斜角等于直線的傾斜角的2倍,求直線的方程;
(2)直線過點(diǎn),并且在軸上的截距是軸上截距的,求直線的方程.
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