【題目】如圖,設(shè)橢圓 (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 點(diǎn)D在橢圓上.DF1⊥F1F2 , =2 ,△DF1F2的面積為

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn),求圓的半徑.

【答案】
(1)解:設(shè)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c2=a2﹣b2,

=2 ,得|DF1|= = c,

從而 = |DF1||F1F2|= c2= ,故c=1.

從而|DF1|= ,由DF1⊥F1F2,得 = + = ,

因此|DF2|=

所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ,故a= ,b2=a2﹣c2=1,

因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +y2=1;


(2)解:設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓 +y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個(gè)交點(diǎn),

y1>0,y2>0,F(xiàn)1P1,F(xiàn)2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2,由圓和橢圓的對稱性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,

由(1)知F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),所以 =(x1+1,y1), =(﹣x1﹣1,y1),再由F1P1⊥F2P2,得﹣ + =0,

由橢圓方程得1﹣ = ,即3 +4x1=0,解得x1=﹣ 或x1=0.

當(dāng)x1=0時(shí),P1,P2重合,此時(shí)題設(shè)要求的圓不存在;

當(dāng)x1=﹣ 時(shí),過P1,P2,分別與F1P1,F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.

由F1P1,F(xiàn)2P2是圓C的切線,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2,又|CP1|=|CP2|,

故圓C的半徑|CP1|= |P1P2|= |x1|=


【解析】(1)設(shè)F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),依題意,可求得c=1,易求得|DF1|= = ,|DF2|= ,從而可得2a=2 ,于是可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓 +y2=1相交,P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)是兩個(gè)交點(diǎn),依題意,利用圓和橢圓的對稱性,易知x2=﹣x1 , y1=y2 , |P1P2|=2|x1|,
由F1P1⊥F2P2 , 得x1=﹣ 或x1=0,分類討論即可求得圓的半徑.

練習(xí)冊系列答案
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(一)人數(shù)統(tǒng)計(jì)表: (二)各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:

(Ⅰ)在答題卡給定的坐標(biāo)系中補(bǔ)全頻率分布直方圖,并求出、的值;

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(2)以編號(hào)3為起點(diǎn),系統(tǒng)抽樣抽取4個(gè)球,則這4個(gè)球的編號(hào)的平均值為____.

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