Question

已知a＞0，命題p：?x＞0，x+

a

x

≥2恒成立；命題q：?k∈R，直線kx-y+2=0與橢圓x²+

y2

a2

=1恒有公共點(diǎn)．問：是否存在正實(shí)數(shù)a，使得p∨q為真命題，p∧q為假命題？若存在，請求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復(fù)合命題的簡單命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷．

解答：解：∵命題p：?x＞0，x+

a

x

≥2恒成立
∴要x+

a

x

≥2恒成立，應(yīng)有2√a≥2
∴a的取值范圍：a≥1
又∵命題q：?k∈R，直線kx-y+2=0與橢圓x²+

y2

a2

=1恒有公共點(diǎn)
∵對任意k，直線kx-y+2=0恒過定點(diǎn)（0，2）
∴要使直線kx-y+2=0與橢圓x²+

y2

a2

=1有公共點(diǎn)，（0，2）在橢圓內(nèi)部
∴應(yīng)有，

22

a2

+02≤1，
∴a的取值范圍：a≥2
∵若p∨q為真命題，p∧q為假命題
∴p、q一真一假，
①p真q假，那么a的取值范圍：

a≥1 a＜2 a＞0

②p假q真，那么a的取值范圍：

a＜1 a≥2 a＞0

，
解得出a的取值范圍：1≤a＜2
綜上，存在1≤a＜2，使得p∨q為真命題，p∧q為假命題

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，屬于基礎(chǔ)題目