【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N。

（1）求證：直線MN必過定點(diǎn)；

（2）分別以AB和CD為直徑作圓，求兩圓相交弦中點(diǎn)H的軌跡方程。

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）易知F(1,0).

設(shè)，代入，得.

易得，故.

因?yàn)镃D⊥AB，所以將點(diǎn)M坐標(biāo)中的k換為，即得.

則，

即.

故不論k為何值，直線MN恒過定點(diǎn)T(3, 0).

（2）由拋物線的性質(zhì)知，都與拋物線的準(zhǔn)線x=-1相切，所以，的半徑分別為.從而，，

.

兩式相減并整理，得公共弦所在直線方程為.

又，

故公共弦所在直線過原點(diǎn)O.

所以，∠OHT=90°.

于是，點(diǎn)H的軌跡是以O(shè)T為直徑的圓(除去直徑的兩個(gè)端點(diǎn))，其軌跡方程為

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：在軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且右焦點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與圓相切，和橢圓交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，線段，分別和圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)，的面積分別為，，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】A4紙是生活中最常用的紙規(guī)格．A系列的紙張規(guī)格特色在于：①A0、A1、A2…、A5，所有尺寸的紙張長(zhǎng)寬比都相同．②在A系列紙中，前一個(gè)序號(hào)的紙張以兩條長(zhǎng)邊中點(diǎn)連線為折線對(duì)折裁剪分開后，可以得到兩張后面序號(hào)大小的紙，比如1張A0紙對(duì)裁后可以得到2張A1紙，1張A1紙對(duì)裁可以得到2張A2紙，依此類推．這是因?yàn)?/span>A系列紙張的長(zhǎng)寬比為：1這一特殊比例，所以具備這種特性．已知A0紙規(guī)格為84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈，那么A4紙的長(zhǎng)度為（　　）

A.厘米B.厘米C.厘米D.厘米

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在某超市，隨機(jī)調(diào)查了100名顧客購(gòu)物時(shí)使用手機(jī)支付的情況，得到如下的列聯(lián)表，已知從其中使用手機(jī)支付的人群中隨機(jī)抽取1人，抽到青年的概率為.

青年

中老年

合計(jì)

使用手機(jī)支付

60

不使用手機(jī)支付

28

合計(jì)

100

（1）根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并根據(jù)此資料判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“超市購(gòu)物用手機(jī)支付與年齡有關(guān)”.

（2）現(xiàn)按照“使用手機(jī)支付”和“不使用手機(jī)支付”進(jìn)行分層抽樣，從這100名顧客中抽取容量為5的樣本，求“從樣本中任選3人，則3人中至少2人使用手機(jī)支付”的概率.

（其中 ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知集合S={1,2,3,4,5,6}，一一映射f:S→S滿足條件：對(duì)于任意的x∈S，有f(f(f(x)))=x。則滿足條件的映射f的個(gè)數(shù)是( )。

A. 81 B. 80 C. 40 D. 27

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P—A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD—A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．

(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？

(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．

（1）若，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)向量，，若k–與+3平行，求實(shí)數(shù) 的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某10張券中有一等獎(jiǎng)券2張，每張可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券2張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒有獎(jiǎng).某顧客從此10張獎(jiǎng)券中任抽2張，求：

（1）該顧客中獎(jiǎng)的概率；

（2）該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X元的概率分布列.

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