【題目】某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施．該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．

（1）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（2）求△EMN的面積S（平方米）的最大值．

【答案】
（1）解：①如圖1所示，當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)，即0＜x≤1時(shí)，△EMN的面積S= =x；

②如圖2所示，當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)，即1＜x＜ 時(shí)，連接EG，交CD于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)H，

∵E為AB中點(diǎn)，

∴F為CD中點(diǎn)，GF⊥CD，且FG= ．

又∵M(jìn)N∥CD，∴△MNG∽△DCG．

∴ ，即 ．

故△EMN的面積S= = ；

綜合可得：


（2）解：①當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，S=x，所以有0＜S≤1；

②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，S= ．

因而，當(dāng) （米）時(shí)，S得到最大值，最大值S= （平方米）．

∵ ，

∴S有最大值，最大值為 平方米．


【解析】（1）分類求出MN在矩形區(qū)域、三角形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，△EMN的面積，可得分段函數(shù)；（2）分類求出△EMN的面積的最值，比較其大小即可得到最大值.

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