設(shè)a>0,f(x)=是R上的偶函數(shù),(1)求a的值;(2)證明: f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

(1) a=1 (2) 證明略


解析:

  依題意,對(duì)一切x∈R,有f(x)=f(-x),

+aex  整理,得(a)(ex)=0.

因此,有a=0,即a2=1,又a>0,∴a=1.

(2)證法一(定義法): 設(shè)0<x1x2,

f(x1)-f(x2)=

x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1-e<0,

f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)

f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

證法二(導(dǎo)數(shù)法): 由f(x)=ex+ex,得f′(x)=exex=ex·(e2x-1).當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ex>0,e2x-1>0.

此時(shí)f′(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).

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