(08年南昌市一模理)(12分)如圖,直三棱柱A1B1C1―ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點(diǎn).
(1)求與平面A1C1CA所成角的大;
(2)求二面角B―A1D―A的大;
(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)F,使得EF⊥平面A1BD?若存在,確定其位置并證明結(jié)論;若不存在,說(shuō)明理由.
解析:(1)∵A1B1C1-ABC為直三棱柱 ∴CC1⊥底面ABC ∴CC1⊥BC
∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A1C1CA ………………2分
∴為與平面A1C1CA所成角
∴與平面A1C1CA所成角為……………4分
(2)分別延長(zhǎng)AC,A1D交于G. 過(guò)C作CM⊥A1G 于M,連結(jié)BM
∵BC⊥平面ACC1A1 ∴CM為BM在平面A1C1CA的內(nèi)射影
∴BM⊥A1G ∴∠CMB為二面角B―A1D―A的平面角……6分
平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D為C1C的中點(diǎn)
∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,
,
即二面角B―A1D―A的大小為…………………8分
(3)在線段AC上存在一點(diǎn)F,使得EF⊥平面A1BD………10分
其位置為AC中點(diǎn),證明如下:
∵A1B1C1―ABC為直三棱柱, ∴B1C1//BC
∵由(1)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA
∵EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F ,F(xiàn)為AC中點(diǎn) ∴C1F⊥A1D
∴EF⊥A1D ……11分
同理可證EF⊥BD, ∴EF⊥平面A1BD …………12分
∵E為定點(diǎn),平面A1BD為定平面 ,點(diǎn)F唯一
解法二:(1)同解法一……………………4分
(2)∵A1B1C1―ABC為直三棱住 C1C=CB=CA=2 ,
AC⊥CB D、E分別為C1C、B1C1的中點(diǎn), 建立如圖所示的坐標(biāo)系得
C(0,0,0) B(2,0,0) A(0,2,0)
C1(0,0,2) B1(2,0,2) A1(0,2,2)
D(0,0,1) E(1,0,2)………………6分
設(shè)平面A1BD的法向量為
……………8分
平面ACC1A1的法向量為=(1,0,0) …9分
即二面角B―A1D―A的大小為 ……………10分
(3)在線段AC上存在一點(diǎn)F,設(shè)F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD
欲使EF⊥平面A1BD 由(2)知,當(dāng)且僅當(dāng)//…………11分
… ……13分
∴存在唯一一點(diǎn)F(0,1,0)滿足條件. 即點(diǎn)F為AC中點(diǎn)……12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年南昌市一模理)( 14分) 已知數(shù)列滿足
(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2) 設(shè)b= (n∈N,n≥2), b,
①求證:b+b+……+b< 3 ;
②設(shè)點(diǎn)M(n,b)((n∈N,n>2)在這些點(diǎn)中是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)同時(shí)在函數(shù)
y =(k>0)的圖象上,如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年南昌市一模理)(12分)已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P)在橢圓上,線段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿足;⊙O是以F1F2為直徑的圓,一直線l: y=kx+m與⊙O相切,并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng),且滿足時(shí),求△AOB面積S的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年南昌市一模理)(12分)已知函數(shù)f (x) =lnx,g(x) =,(a為常數(shù)),若直線l與y =f(x), y =g(x)的圖象都相切,且l與y = f(x)的圖象相切的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2) 當(dāng) 2 ≤m <時(shí),求h(x)= f(x)―f(x)[2g(x)- m +1]在[,2]上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年南昌市一模理) 正三棱錐S―ABC中,M是SC的中點(diǎn),=0,若側(cè)棱,則此正三棱錐S―ABC外接球的表面積是
A.36π B.64π C.144π D.256π
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