【題目】已知n為正整數(shù),數(shù)列{an}滿足an>0, ,設(shè)數(shù)列{bn}滿足
(1)求證:數(shù)列 為等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,求實數(shù)t的值;
(3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,前n項和為Sn , 對任意的n∈N* , 均存在m∈N* , 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,求滿足條件的所有整數(shù)a1的值.

【答案】
(1)證明:∵數(shù)列{an}滿足an>0, ,

=4 ,∴ =2 ,

∴數(shù)列 為等比數(shù)列,其首項為a1,公比為2


(2)解:由(1)可得: =a12n1,

an= =

∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,∴2b2=b1+b3,

= +

解得t=4或12.

t=4時,bn= = ,是關(guān)于n的一次函數(shù),因此數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.

t=12時,bn= ,bn+1﹣bn= ,不是關(guān)于n的一次函數(shù),

因此數(shù)列{bn}不是等差數(shù)列.

綜上可得t=4


(3)解:由(2)得bn= ,

對任意的n∈N*,均存在m∈N*,使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,

即有8a14 n(1+n)﹣a14n2=16

化簡可得m= ,

當(dāng)a1=2k,k∈N*,m= =nk2,對任意的n∈N*,符合題意;/span>

當(dāng)a1=2k﹣1,k∈N*,當(dāng)n=1時,m= = =k2﹣k+ ,

對任意的n∈N*,不符合題意.

綜上可得,當(dāng)a1=2k,k∈N*,對任意的n∈N*,均存在m∈N*,

使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立


【解析】(1)由題意整理可得, =2 ,再由等比數(shù)列的定義即可得證;(2)運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列中項的性質(zhì),可得2b2=b1+b3 , 解方程可得t,對t的值,檢驗即可得到所求值;(3)由(2)可得bn= ,對任意的n∈N* , 均存在m∈N* , 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立,即有8a14 n(1+n)﹣a14n2=16 ,討論a1為偶數(shù)和奇數(shù),化簡整理,即可得到所求值.
【考點精析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的通項公式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知在等差數(shù)列{an}中,從第2項起,每一項是它相鄰二項的等差中項;相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.

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