【題目】已知橢圓上兩個不同的點、關于直線對稱．

（1）若已知，為橢圓上動點，證明：；

（2）求實數(shù)的取值范圍；

（3）求面積的最大值（為坐標原點）．

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）設點，則有，代入橢圓的方程得出，然后利用兩點間的距離公式和二次函數(shù)的基本性質可求出的最大值，從而證明；

（2）由、關于直線對稱，可得出直線與直線，從而可得出直線的斜率為，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得出，并列出韋達定理，求出線段的中點，再由點在直線上列出不等式，結合可求出的取值范圍；

（3）令，可得出直線的方程為，利用韋達定理結合弦長公式計算出，利用點到直線的距離公式計算出的高的表達式，然后利用三角形的面積公式得出面積的表達式，利用基本不等式可求出面積的最大值.

（1）設，則，得，于是

因，所以當時，，即；

（2）由題意知，可設直線的方程為．

由消去，得．

因為直線與橢圓有兩個不同的交點，

所以，，即，①

由韋達定理得，，

，所以，線段的中點.

將中點代入直線方程，解得②，

將②代入①得，化簡得.

解得或，因此，實數(shù)的取值范圍是；

（3）令，即，且.

則，，

則，

且到直線的距離為，

設的面積為，所以，

當且僅當時，等號成立，故面積的最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，，，，且在平面上的射影在線段上．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設二面角為，求的余弦值．

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【題目】已知點F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，點P為橢圓上任意一點，P到焦點F2的距離的最大值為，且△PF1F2的最大面積為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程．

（Ⅱ）點M的坐標為，過點F2且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A，B兩點．對于任意的是否為定值？若是求出這個定值；若不是說明理由．

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【題目】已知拋物線（），其準線方程，直線過點（），且與拋物線交于、兩點，為坐標原點.

（1）求拋物線方程，并注明：的值與直線傾斜角的大小無關；

（2）若為拋物線上的動點，記的最小值為函數(shù)，求的解析式.

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【題目】設函數(shù)在上有定義，實數(shù)和滿足，若在區(qū)間上不存在最小值，則稱在上具有性質.

（1）當，且在區(qū)間上具有性質時，求常數(shù)的取值范圍；

（2）已知（），且當時，，判別在區(qū)間上是否具有性質，試說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預防霧霾出一份力．為此，很多城市實施了機動車車尾號限行，我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機抽查了人，將調查情況進行整理后制成下表：

年齡（歲）

頻數(shù)

贊成人數(shù)

（）完成被調查人員的頻率分布直方圖．

（）若從年齡在，的被調查者中各隨機選取人進行追蹤調查，求恰有人不贊成的概率．

（）在在條件下，再記選中的人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，離心率為，點，為線段的中點．

（）求橢圓的方程．

（）若過點且斜率不為的直線與橢圓交于、兩點，已知直線與相交于點，試判斷點是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設，命題p：函數(shù)在內單調遞增；q：函數(shù)僅在處有極值.

（1）若命題q是真命題，求a的取值范圍；

（2）若命題是真命題，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設拋物線的方程為，其中常數(shù)，是拋物線的焦點.

（1）若直線被拋物線所截得的弦長為6，求的值；

（2）設是點關于頂點的對稱點，是拋物線上的動點，求的最大值；

（3）設，、是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點的直線，與拋物線交于點、，與拋物線交于點、，若點滿足，求點的軌跡方程.

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