Question

【題目】已知函數，

（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）設函數，證明：是函數有兩個零點的充分條件.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據在上單調遞增，得到，從而得到在上恒成立，利用基本不等式得到的最小值，從而得到的范圍；（2）將問題等價于“函數有兩個零點”，利用導數得到的單調性和最小值，再利用導數求出當時，其最小值恒小于，從而得到有兩個零點，從而使命題得證.

（1）函數的定義域為

因為函數在上單調遞增，

所以在上恒成立，，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

因為

當且僅當，即時，等號成立，

所以最小值為

所以

所以.

（2）由題意知，

“函數有兩個零點”等價于“方程兩個根”，

由于，也等價于“函數有兩個零點”

則

當時，令得，令得，

即函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，

因此，

令，

則

當時，

所以在上為減函數，且，

所以，即，

而，得，

又，，

故函數有兩個零點

即是函數有兩個零點的充分條件.