Question

【題目】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

若，求函數(shù)的極值；

若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（I）函數(shù)有極小值，無極大值. （II）.

【解析】

（I）先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，最后根據(jù)導數(shù)符號確定極值，（II）先求導數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)零點分類討論，最后根據(jù)單調(diào)性確定最小值，進而確定實數(shù)的取值范圍.

由題意得，，則，

令，解得，令，解得，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故當時，函數(shù)有極小值，無極大值.

（II）令，

則.

令，則，

易得在上單調(diào)遞增，，

則在上單調(diào)遞增，.

當，即時，在上恒成立，

則在上單調(diào)遞增，，滿足題意；

當時，，當時，，

又在上單調(diào)遞增，

，使得，當時，，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不滿足題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.