Question

已知矩陣A=[

x 3 2 y

]，α=[

4 -1

]，且Aα=[

9 4

]．
（1）求實數(shù)x，y的值；
（2）求A的特征值λ₁，λ₂（λ₁＞λ₂）及對應(yīng)的特征向量

α1

，

α2

；
（3）計算A²⁰α．

Answer 1

（1）∵A=[

x 3 2 y

]，α=[

4 -1

]，Aα=[

9 4

]，
∴Aα=[

x 3 2 y

][

4 -1

]=[

4x-3 8-y

]=[

9 4

]，解得：

x=3 y=4

，
∴實數(shù)x，y的值分別為3，4；
（2）矩陣A的特征多項式為矩陣M的特征多項式為f（λ）=λ²-7λ+6，
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為6或1，
當(dāng)λ=6時由二元一次方程

3x-3y=0 -2x+2y=0

得x-y=0，令x=1，則y=1，
所以特征值λ=6對應(yīng)的特征向量為

α1

=

1 1

，
當(dāng)λ=1時由二元一次方程

-2x-3y=0 -2x-3y=0

得2x+3y=0，
令x=3，則y=-2，
所以特征值λ=1對應(yīng)的特征向量為

α2

=

3 -2

；
（3）令[

4 -1

]=m

1 1

+n

3 -2

，
∴

m+3n=4 m-2n=-1

，解得：

m=1 n=1

，
故A²⁰α=6²⁰

α1

+1²⁰

α2

=

620+3 620-2

．