如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，過的直線交橢圓于兩點， 的周長為8，且面積最大時，為正三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，證明：點在以為直徑的圓上.
(1) (2)證明過程詳見解析

試題分析：
(1)利用橢圓的定義,可以得到三角形ABF2的周長即為2a,則可以得到a的值,由橢圓的對稱性,可以得到為正三角形當且僅當A點在橢圓的短軸端點,此時,則可得到c的值,再根據(jù)a,c,b之間的關(guān)系可得到b的值,進而得到橢圓E的方程.
(2)據(jù)題意,直線l與橢圓E相切于點P.設出點P的坐標,利用直線與橢圓相切,聯(lián)立橢圓與直線的方程,判別式為0,即可用點P的坐標表示直線l的斜率,即得到直線l關(guān)于P坐標的表達式.聯(lián)立直線l與直線x=4即可求出點Q的坐標,把P,Q的坐標帶入內(nèi)積式,證得即可.
試題解析：
(1)由題得,因為點A,B都在橢圓上,所以根據(jù)橢圓的定義有且,又因為 的周長為8,所以
, 因為橢圓是關(guān)于x,y,原點對稱的,所以為正三角形當且僅當為橢圓的短軸定點,則,,故橢圓E的方程為.
(2)由題得,動直線l為橢圓的切線,故不妨設切點,因為直線l的斜率是存在且為,所以,則直線,聯(lián)立直線l與橢圓E的方程得 ,.則直線l的方程為,聯(lián)立直線l與直線得到點,則
,所以,即點M在以PQ為直徑的圓上.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過右焦點作斜率為的直線交曲線于、兩點，且，又點關(guān)于原點的對稱點為點，試問、、、四點是否共圓？若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓的離心率為，且過點直線與橢圓M交于A、C兩點，直線與橢圓M交于B、D兩點，四邊形ABCD是平行四邊形
（1）求橢圓M的方程；
（2）求證：平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于原點O；
（3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線的方程為，過拋物線上一點()作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點(三點互不相同)，且滿足（且）．
（1）求拋物線的焦點坐標和準線方程；
（2）設直線上一點，滿足，證明線段的中點在軸上；
（3）當=1時，若點的坐標為，求為鈍角時點的縱坐標的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點、，動點滿足：，且
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）已知圓W： 的切線與軌跡相交于P，Q兩點，求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：＝1(a>b>0)的右焦點為F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A，B兩點，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值為2.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若圓x2＋y2＝的切線L與橢圓E相交于P，Q兩點，當P，Q兩點橫坐標不相等時，OP(O為坐標原點)與OQ是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，一條準線l：x＝2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設O為坐標原點，M是l上的點，F為橢圓C的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓D交于P，Q兩點．
①若PQ＝，求圓D的方程；
②若M是l上的動點，求證點P在定圓上，并求該定圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的焦點坐標為F1(－1,0)，F2(1,0)，過F2垂直于長軸的直線交橢圓于P，Q兩點，且|PQ|＝3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，則△F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若點P到點的距離與它到直線y+3=0的距離相等，則P的軌跡方程為 (　　)
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案