已知橢圓E：＝1(a>b>0)的右焦點為F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A，B兩點，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值為2.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若圓x2＋y2＝的切線L與橢圓E相交于P，Q兩點，當(dāng)P，Q兩點橫坐標(biāo)不相等時，OP(O為坐標(biāo)原點)與OQ是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．
（1）＋y2＝1（2）垂直
(1)設(shè)A(x0，y0)，則B(－x0，－y0)，F(c,0)(c2＝a2－b2)
|AF|＋|BF|＝2a＝2，∴a＝.
又|AB|＝?＝2 ，0≤≤a2，
∴|AB|min＝2b＝2，∴b＝1，∴橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)由題設(shè)條件可知直線L的斜率存在，設(shè)直線L的方程為y＝kx＋m.
∵直線L與圓x2＋y2＝相切，∴，
∴m2＝ (k2＋1)．
將y＝kx＋m代入＋y2＝1中得，
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝8(2k2＋1－m2)＞0.
令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2，
則x1＋x2＝①，x1x2＝②，
y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝③.
∴·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，
∴⊥，即OP與OQ垂直
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＝1的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設(shè)過點T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.

(1)設(shè)動點P滿足PF2－PB2＝4，求點P的軌跡；
(2)設(shè)x1＝2，x2＝，求點T的坐標(biāo)；
(3)設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標(biāo)與m無關(guān))．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

以橢圓的一個頂點為直角頂點作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，試問：（1）這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，寫出一個等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。若不存在，說明理由。（2）這樣的等腰直角三角形若存在，最多有幾個？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：（）的焦距為，且過點（，），右焦點為．設(shè)，是上的兩個動點，線段的中點的橫坐標(biāo)為，線段的中垂線交橢圓于，兩點．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，過的直線交橢圓于兩點， 的周長為8，且面積最大時，為正三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，證明：點在以為直徑的圓上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為，且.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，且，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的最小距離為，離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線交于、兩點，點，問是否存在，使?若存在求出的值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,點P到拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點M(t,1)是C上的定點,A,B是C上的兩動點,且線段AB被直線OM平分.

(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若實數(shù)x，y滿足x|x|－y|y|＝1，則點(x，y)到直線y＝x的距離的取值范圍是(  )
A．[1，) B．(0，]C．D．(0,1]

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