【題目】已知函數(shù)f(x)=ln x+ax-+b.
(1)若函數(shù)g(x)=f(x)+為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若f(x)≤0恒成立,證明:a≤1-b.
【答案】(1) ;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù),分參數(shù),求解的范圍即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令,通過(guò)討論的范圍,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到,從而證出結(jié)論即可.
試題解析:
(1)解 g(x)=f(x)+=ln x+ax++b,x>0.
對(duì)g(x)求導(dǎo)可得g′(x)=+a-,x>0.
要使g(x)在(0,+∞)為減函數(shù),則有g′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,即a≤-=-,
所以a≤-,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
(2)證明 f′(x)=++a=(x>0),
令y=ax2+x+1,
當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不滿足f(x)≤0恒成立;
當(dāng)a<0時(shí),Δ=1-4a>0,當(dāng)ax2+x+1=0,得x=>0或x=<0,
設(shè)x0=,函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增;在(x0,+∞)上單調(diào)遞減.
又f(x)≤0恒成立,所以f(x0)≤0,即ln x0+ax0-+b≤0.
由上式可得b≤-ax0-ln x0,由ax+x0+1=0,得a=-,
所以a+b≤-ax0-ln x0-=-ln x0+-+1.
令t=,t>0,h(t)=ln t+t-t2+1,
h′(t)==,
當(dāng)0<t<1時(shí),h′(t)>0,函數(shù)h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,
當(dāng)t≥1時(shí),h′(t)≤0,函數(shù)h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,h(t)≤h(1)=1.
故a+b≤1,即a≤1-b.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某人為研究中學(xué)生的性別與每周課外閱讀量這兩個(gè)變量的關(guān)系,隨機(jī)抽查了100名中學(xué)生,得到頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].
(Ⅰ)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù).
(Ⅱ)在樣本數(shù)據(jù)中,有20位女生的每周課外閱讀時(shí)間超過(guò)4小時(shí),15位男生的每周課外閱讀時(shí)間沒(méi)有超過(guò)4小時(shí).請(qǐng)畫(huà)出每周課外閱讀時(shí)間與性別列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“該校學(xué)生的每周課外閱讀時(shí)間與性別有關(guān)”.
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果x∈D,y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,則稱函數(shù)f(x)為“Ω函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù):①y=sin x;②y=2x;③y=;④f(x)=ln x.則其中“Ω函數(shù)”共有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a10=4a3,a4=3a1+7.
(1)求通項(xiàng)公式an;
(2)若bn=an-2an+2,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足a1=4,且a2,a4+2,2a7-8成等比數(shù)列,{an}的前n項(xiàng)和為Sn.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了減少霧霾,還城市一片藍(lán)天,某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實(shí)行車輛限號(hào)出行政策,鼓勵(lì)民眾不開(kāi)車低碳出行,某甲乙兩個(gè)單位各有200名員工,為了了解員工低碳出行的情況,統(tǒng)計(jì)了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù),畫(huà)出莖葉圖如下:
(1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122,求;
(2)現(xiàn)從如圖的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩單位中各取2天),記其中甲、乙兩單位員工低碳出行人數(shù)不低于130人的天數(shù)為, ,令,求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (a∈R).
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=1的圖象在區(qū)間(0,e2]上有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為 .以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的表面積為( )
A. 26+4 B. 27+4 C. 34+4 D. 17+2
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