Question

已知橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A為上頂點(diǎn)，AF₁交橢圓E于另一點(diǎn)B，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8，點(diǎn)F₂到直線AB的距離為2．
（I）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求過D（1，0）作橢圓E的兩條互相垂直的弦，M、N分別為兩弦的中點(diǎn)，求證：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（I）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8，∴a=2
設(shè)，因?yàn)锳（0，b），
∴直線AB的方程為，
∴點(diǎn)F₂到直線AB的距離，，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：．
（II）設(shè)以M為中點(diǎn)的弦與橢圓交于（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
∴，同理，
∴，，
整理得，
∴直線MN過定點(diǎn)．
當(dāng)直線P₁Q₁的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，P₁Q₁、P₂Q₂的中點(diǎn)為點(diǎn)D及原點(diǎn)O，直線MN為x軸，
也過此定點(diǎn)，
∴直線MN過定點(diǎn)．
分析：（I）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8?a=2，再由點(diǎn)F₂到直線AB的距離，可以求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：．
（II）由題設(shè)條件可知，由此可推導(dǎo)出直線MN過定點(diǎn)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、分別事整合思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想．