Question

設(shè)（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，用函數(shù)的單調(diào)性定義證明：y=f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，若函數(shù)y=g（x）的圖象與 y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)，求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，求關(guān)于x的方程f（x）=0在實(shí)數(shù)集R上的解．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)x₁＜x₂，再進(jìn)行作差f（x₁）-f（x₂），代入解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)條件判斷出符號(hào)，最后下結(jié)論；
（2）先設(shè)y=g（x）的圖象任一點(diǎn)為P（x，y），再求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（-x，y）代入f（x）=2^x-1，進(jìn)行整理即可；
（3）將方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，再設(shè)t=2^x，則t＞0，代入后得到關(guān)于t的二次方程，利用a的范圍和求根公式進(jìn)行求解，再求出x的值．
解答：解：（1）設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（）-（）
==
=，
∵x₁＜x₂，∴，，
∵a＜0，∴1-a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）a=0時(shí)，f（x）=2^x-1，設(shè)y=g（x）的圖象任一點(diǎn)為P（x，y），
則P（x，y）關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（-x，y）在y=f（x）的圖象，
∴y=2^-x-1=，即g（x）=；
（3）由得，2^2x-2^x+a=0，
設(shè)t=2^x，則t＞0，且方程變?yōu)閠²-t+a=0，
∵a＜0，∴△=1-4a＞1，
∴方程的根為＜0，＞0，
∴方程的根為：=2^x，
∴x=，
即方程f（x）=0在實(shí)數(shù)集R上的解是．
點(diǎn)評(píng)：本題是綜合題，考查了利用單調(diào)性的定義證明過(guò)程，利用對(duì)稱(chēng)性求函數(shù)的解析式，以及換元法求方程的根，注意換元后應(yīng)求出對(duì)應(yīng)的范圍．