Question

【題目】已知橢圓O： （a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（ ，﹣ ），A（x0 ， y0）（x0y0≠0），其上頂點(diǎn)到直線 x+y+3=0的距離為2，過(guò)點(diǎn)A的直線l與x，y軸的交點(diǎn)分別為M、N，且 =2 ．
（1）證明：|MN|為定值；
（2）如圖所示，若A，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B，D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 =λ ，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：其上頂點(diǎn)（0，b）到直線 x+y+3=0的距離為2，∴ ，解得b=1．

又橢圓O： （a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（ ，﹣ ），∴ =1，解得a2=4．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： =1．

點(diǎn)A在橢圓上，∴ =1．

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為：y﹣y0=k（x﹣x0），

可得M ，N（0，y0﹣kx0）．

∵ =2 ，∴﹣x0= ，即k=﹣ ．

∴|MN|= = =3為定值

（2）解：設(shè)∠AOD=α．∵ =λ ，∴2|OD|=3λ．

由題意可得：S四邊形ABCD= =2× |OA|sinα≤3λ|OA|

【解析】（1）其上頂點(diǎn)（0，b）到直線 x+y+3=0的距離為2，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得 ，根據(jù)橢圓O： （a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（ ，﹣ ），解得a2 ． 可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： =1．設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為：y﹣y0=k（x﹣x0），可得M ，N（0，y0﹣kx0）．利用 =2 ，可得k=﹣ ．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得|MN|．（2）設(shè)∠AOD=α．由 =λ ，可得2|OD|=3λ．由題意可得：S四邊形ABCD= =2× |OA|sinα，即可得出．