Question

橢圓的方程為，離心率為，且短軸一端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為1，拋物線的方程為，拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)重合.
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A,B，交y軸于點(diǎn)N，已知的值.
（3）直線交橢圓于不同兩點(diǎn)P,Q，P,Q在x軸上的射影分別為P′,Q′，滿足(O為原點(diǎn))，若點(diǎn)S滿足，判定點(diǎn)S是否在橢圓上，并說明理由.

Answer 1

(1)(2)-1（3）見解析

試題分析：
(1)根據(jù)題意設(shè)出橢圓的方程,題目已知離心率即可得到的值,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形以焦距為底邊長(zhǎng),以短半軸長(zhǎng)為高,即該三角形的面積為,再根據(jù)之間的關(guān)系即可求出的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線的交點(diǎn)在x軸的正半軸,故拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn),即可求出得到拋物線的方程.
(2)討論直線AB的斜率,當(dāng)斜率不存在時(shí)與y軸沒有交點(diǎn),所以不符合題意,則斜率存在,設(shè)直線AB的斜率為k得到直線AB的方程,聯(lián)立直線與拋物線的方程得到AB兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理,把向量的橫坐標(biāo)帶入向量的坐標(biāo)表示得到之間的關(guān)系為反解,帶入,利用(韋達(dá)定理)帶入即可得到為定值.
(3)設(shè)出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),則可以得到的坐標(biāo),帶入條件得到P,Q橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,因?yàn)镻,Q在橢圓上,則滿足橢圓的方程,這兩個(gè)條件得到的三個(gè)式子相加配方即可證明點(diǎn)S在橢圓上,即滿足橢圓的方程.
試題解析：
（1）由題意，橢圓的方程為，又
解得,∴橢圓的方程是.由此可知拋物線的焦點(diǎn)為,得,所以拋物線的方程為.      4分
（2）是定值,且定值為,由題意知，
直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為,
則聯(lián)立方程組
消去得:且,由,得整理得可得
.      9分
（3）設(shè)則
由得 ①
將點(diǎn)坐標(biāo)帶入橢圓方程得, ② ③
由①+②+③得
所以點(diǎn)滿足橢圓的方程,所以點(diǎn)在橢圓上.   13分