在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)曲線C1所圍成的封閉圖形的面積為,曲線C1上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為.以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2
(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)AB是過橢圓C2中心O的任意弦,l是線段AB的垂直平分線.Ml上的點(diǎn)(與O不重合).
①若MO=2OA,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程;
②若Ml與橢圓C2的交點(diǎn),求△AMB的面積的最小值.
(1);(2)①;②

試題分析:(1)對(duì)于曲線C1的處理,關(guān)鍵問題是兩個(gè)絕對(duì)值的處理,根據(jù)x,y的特點(diǎn),不難發(fā)現(xiàn)與坐標(biāo)系中的四個(gè)象限有關(guān),進(jìn)而即可得到,即可得出橢圓方程; (2)①由l是線段AB的垂直平分線,可轉(zhuǎn)化為:,又由MO=2OA,可轉(zhuǎn)化得到:,這樣的好處是兩條件均轉(zhuǎn)化為向量了,設(shè)出點(diǎn)M和點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得到關(guān)系:解出再利用點(diǎn)M在所求橢圓上即可求出:;②中要求△AMB的面積的最小值,根據(jù)此地三角形的特點(diǎn),不難想到直線AB的設(shè)出,根據(jù)斜率是否存在,可先考慮兩種特殊情況:一種不存在;另一種為0,再考慮一般情形,運(yùn)用方程組思想即可得:,進(jìn)而表示出面積:,最后結(jié)合不等式知識(shí)即可求出最小值.
試題解析:(1)由題意得 又,解得,
因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.                                4分
(2)①設(shè),則由題設(shè)知:
 解得                               8分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C2上,所以,
,亦即
所以點(diǎn)M的軌跡方程為.                                   10分
②假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零,設(shè)AB所在直線方程為ykx(k≠0).
解方程組 得,,
所以,.
 解得,,所以.     12分
由于
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即k=±1時(shí)等號(hào)成立,
此時(shí)△AMB面積的最小值是SAMB.                                 15分
當(dāng)k=0,SAMB
當(dāng)k不存在時(shí),SAMB
綜上所述,△AMB面積的最小值為.                                    16分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,且橢圓C上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為2+2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過右焦點(diǎn)F2作直線l 與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè),若,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)及兩個(gè)定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別為K1,K2且K1K2=-
(1).求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程;
(2).設(shè)直線L:y=kx+m與曲線C交于不同兩點(diǎn),M,N,當(dāng)OM⊥ON時(shí),求O點(diǎn)到直線L的距離(O為坐標(biāo)原點(diǎn))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

橢圓的方程為,離心率為,且短軸一端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為1,拋物線的方程為,拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)重合.
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)過點(diǎn)F的直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)N,已知的值.
(3)直線交橢圓于不同兩點(diǎn)P,Q,P,Q在x軸上的射影分別為P′,Q′,滿足(O為原點(diǎn)),若點(diǎn)S滿足,判定點(diǎn)S是否在橢圓上,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓經(jīng)過點(diǎn),其左、右頂點(diǎn)分別是,左、右焦點(diǎn)分別是、,(異于、)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),連接交直線、兩點(diǎn),若成等比數(shù)列.

(1)求此橢圓的離心率;
(2)求證:以線段為直徑的圓過點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知離心率為的橢圓的頂點(diǎn)恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上不同于的任意一點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng),在焦點(diǎn)在軸上的橢圓上求一點(diǎn)Q,使該點(diǎn)到直線(的距離最大。
(3)試判斷乘積“(”的值是否與點(diǎn)(的位置有關(guān),并證明你的結(jié)論;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

點(diǎn)P是以為焦點(diǎn)的橢圓上的一點(diǎn),過焦點(diǎn)的外角平分線的垂線,垂足為M點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡是( 。
A.拋物線B.橢圓C.雙曲線D.圓

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,線段的中點(diǎn)在軸上,若,則橢圓的離心率為(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知橢圓C:+y2=1的兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P(x0,y0)滿足≤1,則PF1+PF2的取值范圍為________.

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同步練習(xí)冊(cè)答案