Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ ，曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（1）求f（x）的最小值；
（2）比較f（x）與 的大�。�
（3）證明：x＞0時(shí)，xexlnx+ex＞x3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）= ，根據(jù)題意知f'（1）=0，即a=1，∴ ，

∴f'（x）= ，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

∴f（x）min=f（1）=1

（2）解：令 = = ，

，

∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減

又∵g（1）=0∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＞g（1）=0， ；

當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜g（1）=0， ；

當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=0，

（3）證明：要證xexlnx+ex＞x3，即證：

令 ，即證∴f（x）＞h（x）， = ，

∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x＞2時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；∴h（x）max=h（2）= ，

又由（1）知f（x）min=1，∴f（x）≥1，∴f（x）＞h（x），得證

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求出a，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最小值即可．（2）令 ，化簡(jiǎn)通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，然后通過x 的范圍，判斷兩個(gè)數(shù)的大小．（3）要證xexlnx+ex＞x3 ， 即證： ，令 ，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，即可證明結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．