【題目】設(shè)函數(shù),其中.

(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;

(2)若,成立,求的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】分析:(1)求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)的取值范圍分析討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)而判斷極值點(diǎn)情況。

(2)根據(jù)(1)中極值點(diǎn)的情況,討論分析函數(shù)的最值,由恒成立條件求出的取值范圍。

詳解:解:(1),定義域?yàn)?/span>,

,

設(shè),

當(dāng)時(shí),,,函數(shù)為增函數(shù),無(wú)極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí),,

時(shí),,函數(shù)為增函數(shù),無(wú)極值點(diǎn).

時(shí),設(shè)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且,

,而,則,

所以當(dāng),,單調(diào)遞增;當(dāng),,單調(diào)遞減;當(dāng),,單調(diào)遞增.因此此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);

當(dāng)時(shí),但,所以當(dāng),,單調(diào)遞增;當(dāng),,單調(diào)遞減.所以函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上可知當(dāng)時(shí)的無(wú)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn).

(2)由(1)可知當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,而,則當(dāng)時(shí),,符合題意;

當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增,而,則當(dāng)時(shí),,符合題意;

當(dāng)時(shí),,,所以函數(shù)單調(diào)遞減,而,則當(dāng)時(shí),,不符合題意;

當(dāng)時(shí),設(shè),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,因此當(dāng)時(shí),,,于是,當(dāng)時(shí),此時(shí),不符合題意.

綜上所述,的取值范圍是.

另解:(1),定義域?yàn)?/span>

,

當(dāng)時(shí),,函數(shù)為增函數(shù),無(wú)極值點(diǎn).

設(shè),,

當(dāng)時(shí),根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知的根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

,即時(shí),,,函數(shù)在為增函數(shù),無(wú)極值點(diǎn).

,即,

而當(dāng)時(shí)此時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn);

當(dāng)時(shí)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);

綜上可知當(dāng)時(shí)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為;當(dāng)時(shí)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為;當(dāng)時(shí),的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

(2)設(shè)函數(shù),,都有成立.

,當(dāng)時(shí),恒成立;

當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,;由均有成立.

故當(dāng)時(shí),,則只需

當(dāng)時(shí),,則需,即.綜上可知對(duì)于,都有成立,只需即可,故所求的取值范圍是.

另解:設(shè)函數(shù),要使,都有成立,只需函數(shù)上單調(diào)遞增即可,

于是只需,成立,

當(dāng)時(shí),令,

;當(dāng)時(shí);當(dāng),

,關(guān)于單調(diào)遞增,則,則,于是.

又當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)單調(diào)遞減,而,

則當(dāng)時(shí),,不符合題意;

當(dāng)時(shí),設(shè),當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,因此當(dāng)時(shí),于是,當(dāng)時(shí),此時(shí),不符合題意.

綜上所述,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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非一線

一線

總計(jì)

愿生

不愿生

總計(jì)

附表:

算得,參照附表,得到的正確結(jié)論是( )

A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”

B. 以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”

C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”

D. 以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無(wú)關(guān)”

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喜歡統(tǒng)計(jì)課程

不喜歡統(tǒng)計(jì)課程

合計(jì)

男生

20

10

30

女生

10

20

30

合計(jì)

30

30

60

(1)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)?

(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)查,將這6名學(xué)生作為一個(gè)樣本,從中任選3人,求恰有2個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.

下面的臨界值表供參考:

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中

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p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列;
p3:數(shù)列 是遞增數(shù)列;
p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列;
其中真命題是(
A.p1 , p2
B.p3 , p4
C.p2 , p3
D.p1 , p4

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