Question

已知橢圓C過點(diǎn)A(1，

3

2

)，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
（1）求橢圓C的方程．
（2）過左焦點(diǎn)F₁作斜率為1的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓定義，2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4，所以a=2又c=1，所以b²=a²-c²=3因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，由此能求出橢圓方程．
（2）由已知得直線l的方程為：y=x+1，因?yàn)镸、N是直線與橢圓的交點(diǎn)，故設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0，由此能求出線段MN的長．

解答：解：（1）根據(jù)橢圓定義，
2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4，
所以a=2
又c=1所以b²=a²-c²=3因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，
所以橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由已知得直線l的方程為：y=x+1，
因?yàn)镸、N是直線與橢圓的交點(diǎn)，
故設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，
得7x²+8x-8=0，
所以x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

64 49 + 32 7

=

12 2

7

，
所以|MN|=

1+12

|x1-x2|=

24

7

．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．