【題目】已知兩個(gè)函數(shù)，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅱ）求證：對(duì)任意，不等式都成立．

【答案】（Ⅰ）分類(lèi)討論，詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析．

【解析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)得出在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，然后分和兩種情況討論

（Ⅱ）求出的最小值和的最大值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)最值之間大小關(guān)系的判斷即可.

（Ⅰ）由得：

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

∴在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，

的最大值為

②當(dāng)時(shí)，

在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)

∴的最大值為

下面比較與大小

∵

∴當(dāng)時(shí)，，

故在區(qū)間上的最大值為

當(dāng)時(shí)，，

在區(qū)間上的最大值為

綜上可知：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)，

又由得：

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

∴在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)，

綜上可知，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，求證：；

（3）若，且不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙紐線.已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的有（ ）

①雙紐線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； ②雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)；

③； ④雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè).

A.①②B.①②③C.②③D.②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，且曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．

（1）求；

（2）若直線與曲線交于，，直線：與曲線交于，，且的面積不超過(guò)，求直線的傾斜角的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列說(shuō)法中正確的是（ ）

A.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，其線性回歸方程是，且，則實(shí)數(shù)的值是

B.正態(tài)分布在區(qū)間和上取值的概率相等

C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1

D.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸）中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）若可，試判斷曲線和的位置關(guān)系；

（2）若曲線與交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，且，滿足.求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

（2）若ln[e(x+1)]≥2- f(-x)對(duì)任意的x∈[0，+∞)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

A. ①B. ②C. ①②D. ①②③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱(chēng)粽粒，俗稱(chēng)“粽子”，古稱(chēng)“角黍”，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原．如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來(lái)，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的表面積為________；該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為________．

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