Question

【題目】△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量 =（2sinB，﹣ ）， =（cos2B，2cos2 ﹣1）且 ∥ ．
（1）求銳角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC的面積S△ABC的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（2sinB，﹣ ）， =（cos2B，2cos2 ﹣1）且 ∥ ，

∴2sinB（2cos2 ﹣1）=﹣ cos2B，

∴2sinBcosB=﹣ cos2B，即sin2B=﹣ cos2B，

∴tan2B=﹣ ，

又B為銳角，∴2B∈（0，π），

∴2B= ，

則B= ；

（2）解：當(dāng)B= ，b=2，

由余弦定理cosB= 得：a2+c2﹣ac﹣4=0，

當(dāng)B= ，b=2，

由余弦定理cosB= 得：a2+c2+ac﹣4=0，

又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立），

∴S△ABC= acsinB= ac≤ （當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立），

則S△ABC的最大值為

【解析】（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量平行，利用平面向量平行時(shí)滿足的條件列出關(guān)系式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，求出tan2B的值，由B為銳角，得到2B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（2）由B的度數(shù)求出sinB及cosB的值，進(jìn)而由b及cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式化簡(jiǎn)求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．