Question

（2012•深圳二模）已知二次函數(shù)f（x）的最小值為-4，且關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|-1≤x≤3，x∈R}．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=

f(x)

x

-4lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|-1≤x≤3，x∈R}，設(shè)出函數(shù)解析式，利用函數(shù)f（x）的最小值為-4，可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)0＜x≤3時(shí)，g（x）≤g（1）=-4＜0，g（e⁵）=e5-

3

e5

-20-2＞2⁵-1-22=9＞0，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集為{x|-1≤x≤3，x∈R}，
∴f（x）=a（x+1）（x-3）=a[（x-1）²-4]（a＞0）
∴f（x）_min=-4a=-4
∴a=1
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x²-2x-3
（2）g（x）=

f(x)

x

-4lnx=x-

3

x

-4lnx-2（x＞0），
∴g′（x）=

(x-1)(x-3)

x2

x，g′（x），g（x）的取值變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	單調(diào)增加	極大值	單調(diào)減少	極小值	單調(diào)增加

當(dāng)0＜x≤3時(shí)，g（x）≤g（1）=-4＜0；
又g（e⁵）=e5-

3

e5

-20-2＞2⁵-1-22=9＞0
故函數(shù)g（x）只有1個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)x0∈(3，e5)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)的概念，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的意識(shí)、考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計(jì)算推理能力及分析問題、解決問題的能力．