【題目】已知函數(shù)f(x)x+alnx.
(1)求f(x)在(1,f(1))處的切線方程(用含a的式子表示)
(2)討論f(x)的單調(diào)性;
(3)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明:.
【答案】(1)y=(﹣2+a)x+2﹣a.(2)見解析(3)見解析
【解析】
(1)求出切點坐標,根據(jù)導函數(shù)求出切線斜率,即可得到切線方程;
(2)求出導函數(shù),對g(x)=﹣x2+ax﹣1,進行分類討論即可得到原函數(shù)單調(diào)性;
(3)結(jié)合(2)將問題轉(zhuǎn)為證明1,根據(jù)韋達定理轉(zhuǎn)化為考慮h(x)=2lnx﹣x的單調(diào)性比較大小即可得證.
(1)∵f(x)x+alnx(x>0)
∴f′(x)(x>0)
∴當x=1時,f(1)=0,f′(1)=﹣2+a,
設(shè)切線方程為y=(﹣2+a)x+b,代入(1,0),得b=2﹣a,
∴f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y=(﹣2+a)x+2﹣a.
(2)函數(shù)的定義域為(0,+∞),
函數(shù)的導數(shù)f′(x),
設(shè)g(x)=﹣x2+ax﹣1,注意到g(0)=﹣1,
①當a≤0時,g(x)<0恒成立,即f′(x)<0恒成立,此時函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
②當a>0時,判別式△=a2﹣4,
(i)當0<a≤2時,△≤0,即g(x)≤0,即f′(x)≤0恒成立,此時函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
(ii)當a>2時,令f′(x)>0,得:x;
令f′(x)<0,得:0<x或x;
∴當a>2時,f(x)在區(qū)間(,)單調(diào)遞增,在(0,),(,+∞)單調(diào)遞減;
綜上所述,綜上當a≤2時,f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
當a>2時,在(0,),(,+∞)上是減函數(shù),
在區(qū)間(,)上是增函數(shù).
(3)由(2)知a>2,0<x1<1<x2,x1x2=1,
則f(x1)﹣f(x2)x1+alnx1﹣[x2+alnx2]
=(x2﹣x1)(1)+a(lnx1﹣lnx2)
=2(x2﹣x1)+a(lnx1﹣lnx2),
則2,
則問題轉(zhuǎn)為證明1即可,
即證明lnx1﹣lnx2>x1﹣x2,
則lnx1﹣lnx1,
即lnx1+lnx1>x1,
即證2lnx1>x1在(0,1)上恒成立,
設(shè)h(x)=2lnx﹣x,(0<x<1),其中h(1)=0,
求導得h′(x)10,
則h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
∴h(x)>h(1),即2lnx﹣x0,
故2lnx>x,
則a﹣2成立.
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,設(shè)拋物線的焦點為F,準線為l,過準線l上一點且斜率為k的直線交拋物線C于A,B兩點,線段AB的中點為P,直線PF交拋物線C于D,E兩點.
(1)求拋物線C的方程及k的取值范圍;
(2)是否存在k值,使點P是線段DE的中點?若存在,求出k值,若不存在,請說明理由.
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【題目】某包子店每天早晨會提前做好一定量的包子,以保證當天及時供應(yīng),該包子店記錄了60天包子的日需求量(單位:個,).按,,,,分組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,圖中.
(1)求包子日需求量平均數(shù)的估計值(每組以中點值作為代表);
(2)若包子店想保證至少的天數(shù)能夠足量供應(yīng),則每天至少要做多少個包子?
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【題目】在邊長為1的正方體中,E,F,G,H分別為A1B1,C1D1,AB,CD的中點,點P從G出發(fā),沿折線GBCH勻速運動,點Q從H出發(fā),沿折線HDAG勻速運動,且點P與點Q運動的速度相等,記E,F,P,Q四點為頂點的三棱錐的體積為V,點P運動的路程為x,在0≤x≤2時,V與x的圖象應(yīng)為( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖,一個水輪的半徑為,水輪軸心距離水面的高度為,已知水輪按逆時針勻速轉(zhuǎn)動,每分鐘轉(zhuǎn)動圈,當水輪上點從水中浮現(xiàn)時的起始(圖中點)開始計時,記為點距離水面的高度關(guān)于時間的函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.
C.若,則
D.不論為何值,是定值
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【題目】函數(shù)的圖象為C,如下結(jié)論中正確的是( )
①圖象C關(guān)于直線對稱;②函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù);
③圖象C關(guān)于點對稱;④由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C
A.①③B.②③C.①②③D.①②
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【題目】已知兩個統(tǒng)計案例如下:
①為了探究患慢性支氣管炎與吸煙關(guān)系,調(diào)查了339名50歲以上的人,調(diào)查結(jié)果如表:
②為了解某地母親與女兒身高的關(guān)系,隨機測得10對母女的身高如下表:
則對這些數(shù)據(jù)的處理所應(yīng)用的統(tǒng)計方法是( )
A.①回歸分析②取平均值
B.①獨立性檢驗②回歸分析
C.①回歸分析②獨立性檢驗
D.①獨立性檢驗②取平均值
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【題目】設(shè)三角形的邊長為不相等的整數(shù),且最大邊長為n,這些三角形的個數(shù)為an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在1,2,…,100中任取三個不同的整數(shù),求它們可以是一個三角形的三條邊長的概率.
附:1+22+32+…+n2;1+23+33+…+n3
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