【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)討論函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】1上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(2)當(dāng)時,無零點;當(dāng)時,只有一個零點;當(dāng)時,有兩個零點

【解析】

1)當(dāng)時,,令,則可得到函數(shù)的單調(diào)性,進一步得到函數(shù),則可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
2)由題意有,當(dāng)時,顯然無零點,當(dāng)時,即的根的個數(shù),即即,設(shè),求出的導(dǎo)數(shù),分析出的單調(diào)性,從而得出函數(shù)的零點的情況.

解:(1)函數(shù)的定義域為,

當(dāng)時,

設(shè),,則

,則,令,則,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,所以,即.

,則,令,則

因此上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

2)函數(shù)的零點個數(shù),即的根的個數(shù).

當(dāng)時,上恒有成立,所以無零點.

當(dāng)時, ,即

,設(shè)

設(shè),

,可得,,可得

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以

所以當(dāng)時,,當(dāng)時,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

又當(dāng)時,,所以,,則

即當(dāng)時,.

又設(shè),則.

,得,,得.

所以函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則.

所以

洛必達(dá)法則所以當(dāng)時,,大致圖象如圖.

(或者由冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)中,當(dāng)時,指數(shù)函數(shù)的變化速度比冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)快得多,也可以說明以當(dāng)時,)

當(dāng),即時,方程無實數(shù)根,即函數(shù)無零點.

當(dāng),即時,方程有1個實數(shù)根,即函數(shù)有1個零點.

當(dāng),即時,方程無實數(shù)根,即函數(shù)無零點.

當(dāng),即時,方程有2個實數(shù)根,即函數(shù)有2個零點.

綜上,當(dāng)時,無零點;

當(dāng)時,只有一個零點;

當(dāng)時,有兩個零點.

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