【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(2)當(dāng)時,無零點;當(dāng)時,只有一個零點;當(dāng)時,有兩個零點
【解析】
(1)當(dāng)時,,令,,則可得到函數(shù)的單調(diào)性,進一步得到函數(shù),則可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)由題意有,當(dāng)時,顯然無零點,當(dāng)時,即的根的個數(shù),即即,設(shè),求出的導(dǎo)數(shù),分析出的單調(diào)性,從而得出函數(shù)的零點的情況.
解:(1)函數(shù)的定義域為,
當(dāng)時,
設(shè),,則
令,則,令,則,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,所以,即.
令,則,令,則,
因此在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)函數(shù)的零點個數(shù),即的根的個數(shù).
當(dāng)時,在上恒有成立,所以無零點.
當(dāng)時, ,即
即,設(shè)
設(shè),
由,可得,,可得
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以
所以當(dāng)時,,當(dāng)時,
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又當(dāng)時,,所以,,則
即當(dāng)時,.
又設(shè),則.
令,得,,得.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則.
所以
由洛必達(dá)法則有所以當(dāng)時,,大致圖象如圖.
(或者由冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)中,當(dāng)時,指數(shù)函數(shù)的變化速度比冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)快得多,也可以說明以當(dāng)時,)
當(dāng),即時,方程無實數(shù)根,即函數(shù)無零點.
當(dāng),即時,方程有1個實數(shù)根,即函數(shù)有1個零點.
當(dāng),即時,方程無實數(shù)根,即函數(shù)無零點.
當(dāng),即時,方程有2個實數(shù)根,即函數(shù)有2個零點.
綜上,當(dāng)時,無零點;
當(dāng)時,只有一個零點;
當(dāng)時,有兩個零點.
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【題目】己知函數(shù)的定義域是,對任意的,有.當(dāng)時,.給出下列四個關(guān)于函數(shù)的命題:
①函數(shù)是奇函數(shù);
②函數(shù)是周期函數(shù);
③函數(shù)的全部零點為,;
④當(dāng)算時,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有4個公共點.
其中,真命題的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】某廠包裝白糖的生產(chǎn)線,正常情況下生產(chǎn)出來的白糖質(zhì)量服從正態(tài)分布(單位:).
(Ⅰ)求正常情況下,任意抽取一包白糖,質(zhì)量小于的概率約為多少?
(Ⅱ)該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包白糖,稱得其質(zhì)量均小于,檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果,判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常,要求立即停產(chǎn)檢修,檢測員的判斷是否合理?請說明理巾.
附:,則,,.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)若過點的直線與交于,兩點,與交于,兩點,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)實數(shù)x,y滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為4,則ab的最大值為________,的最小值為________.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值;
(2)設(shè),若曲線在兩個不同的點,處的切線互相平行,求證:.
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【題目】已知函數(shù)的最小值為0,其中.
(1)求的值;
(2)若對任意的,有恒成立,求實數(shù)的最小值;
(3)記,為不超過的最大整數(shù),求的值.
(參考數(shù)據(jù):,,)
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,滿足.
(1)求證:數(shù)列等差數(shù)列;
(2)當(dāng)時,記,是否存在正整數(shù)、,使得、、成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)對;若不存在,請說明理由;
(3)若數(shù)列、、、、、是公比為的等比數(shù)列,求最小正整數(shù),使得當(dāng)時,.
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【題目】已知函數(shù).
(1)函數(shù)在區(qū)間()上有零點,求k的值;
(2)若不等式對任意正實數(shù)x恒成立,求正整數(shù)m的取值集合.
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