Question

（2012•梅州二模）己知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面區(qū)域的面積為16

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左項點為A，上頂點為B，圓M過A、B兩點．當(dāng)圓心M與原點O的距離最小時，求圓M的方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓C的離心率為

2

2

，可得a=

2

b，根據(jù)不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面區(qū)域的面積為16

2

，可得4×

1

2

ab=16

2

，由此可求得a，b的值，從而可得橢圓C的方程；
（2）確定AB的垂直平分線L的方程，當(dāng)圓心M與原點O的距離最小時，OM⊥L，可得OM的方程，聯(lián)立可得M的坐標(biāo)與圓的半徑，從而可得圓M的方程．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，∴

a2-b2

a

=

2

2

∴a=

2

b①
根據(jù)對稱性，可得不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面區(qū)域是橢圓C的四個頂點為頂點的菱形
∵不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面區(qū)域的面積為16

2

．
∴4×

1

2

ab=16

2

②
由①②解得a=4，b=2

2

∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

8

=1；
（2）由題意，A（-4，0），B（0，2

2

），可得AB的垂直平分線L的方程為：

2

x+y+

2

=0
點M在L上，當(dāng)圓心M與原點O的距離最小時，OM⊥L，可得OM的方程為：y=

2

2

x
解方程組

2 x+y+ 2 =0 y= 2 2 x

得x=-

2

3

，y=-

2

3

∴M（-

2

3

，-

2

3

），此時r2=

102

9

∴圓M的方程為(x+

2

3

)2+(y+

2

3

)2=

102

9

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的方程，確定圓的圓心與半徑是關(guān)鍵．