Question

設數(shù)列{a_n}的各項都是正數(shù)，記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且對任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²．
（Ⅰ）求證：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若bn=3n+(-1)n-1λ•2an（λ為非零常數(shù)，n∈N^*），問是否存在整數(shù)λ，使得對任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．

Answer 1

分析：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合題．在解答時：
（I）首先討論n=1和n≥2時兩種情況，結合通項與前n項和之間的關系通過作差、變形化簡即可獲得問題的解答；
（II）利用（1）的結論寫出相鄰的一項對應的關系式，注意保證n≥2．用作差法可分析知數(shù)列a_n為等差數(shù)列，進而即可獲得數(shù)列的通項公式；
（III）首先假設存在λ使得滿足題意，然后計算化簡b_n+1-b_n，再結合恒成立問題進行轉化，將問題轉化為：(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1對任意的n∈N*恒成立．然后分n為奇偶數(shù)討論即可獲得λ的范圍，再結合為整數(shù)即可獲得問題的解答．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，
當n=1時，a₁³=a₁²．
∵a₁＞0，∴a₁=1．
當n≥2時，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²．①a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²．②
①-②得  a_n³=a_n（2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n）
∵a_n＞0，∴a_n²=2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n，
即a_n²=2S_n-a_n．
∵a₁=1適合上式，
∴a_n²=2S_n-a_n（n∈N^*）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 a_n²=2S_n-a_n（n∈N^*）．③
當n≥2時，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1．④
③-④得a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1．
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，可得a_n=n．（8分）
（Ⅲ）∵a_n=n，∴bn=3n+(-1)n-1λ•2an=3n+(-1)n-1λ•2n．
欲使b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ]

& & &=2

•3n-3λ(-1)n-1•2n＞0，
即(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1成立．⑤
當n=2k-1，k=1，2，3，…時，⑤式即為λ＜(

3

2

)2k-2．⑥
依題意，⑥式對k=1，2，3…都成立，∴λ＜1．
當n=2k，k=1，2，3，…時，⑤式即為λ＞-(

3

2

)2k-1．⑦
依題意，⑦式對k=1，2，3，…都成立，∴λ＞-

3

2

．
∴-

3

2

＜λ＜1，又λ≠0．
∴存在整數(shù)λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．（12分）

點評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了數(shù)列通項與前n項和的知識、分類討論的知識以及恒成立問題的解答規(guī)律．值得同學們體會和反思．