Question

（2013•梅州一模）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分別是AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求二面角P-EC-D的余弦值；
（3）求點B到平面PEC的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意可知AP，AB，AD三邊所在直線兩兩互相垂直，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，求出圖中點的坐標，取PC中點M，求出向量

AF

與

EM

的坐標，由坐標可知向量

AF

與

EM

平行，從而得到AF∥EM，由線面平行的判定得結論；
（2）求出兩個平面PEC和ECD的法向量，利用法向量所成角的余弦值求二面角P-EC-D的余弦值；
（3）在平面PEC內任取一點E，和B連線后得一向量

BE

，由公式|

EB • m

| m |

|求點B到平面PEC的距離．

解答：（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，所以以A為原點，如圖建立直角坐標系．

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），F（0，

1

2

，

1

2

），P（0，0，1）．
取PC的中點M，連結ME．則M（1，

1

2

，

1

2

），

AF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

EM

=(0，

1

2

，

1

2

)．
故

AF

∥

EM

，即AF∥EM，又EM?平面PEC，AF?平面PEC，所以AF∥平面PEC；
（2）設平面PEC的法向量為

m

=(x，y，z)，

PE

=(1，0，-1)，

EC

=(1，1，0)，
則

m • PE =0 m • EC =0

，可得

x-z=0 x+y=0

，令z=-1，得y=1，x=-1．
則

m

=(-1，1，-1)，
取平面ABCD的一個法向量為

PA

=(0，0，-1)．
cos＜

m

，

PA

＞=

m • PA

| m |•| PA |

1

3

=

3

3

．
所以二面角P-EC-D的余弦值等于

3

3

；
（3）

EB

=(1，0，0)，平面PEC的法向量

m

=(-1，1，-1)，
所以點B到平面PEC的距離d=|

EB • m

| m |

|=|

-1

3

|=

3

3

．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了二面角的平面角及其求法，考查了點到面的距離，利用空間向量進行證明和計算能夠使問題變得簡單化，但關鍵是掌握向量的用法．理解其中的算理．此題是中檔題．