Question

21．已知方向向量為v=(1,)的直線l過點（0，－2）和橢圓C：(a>b>0)的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足cot∠MON≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

21.（I）解法一：直線，  ①

過原點垂直的直線方程為，  ②

解①②得

∵橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上，

∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標(biāo)為（2，0）.

  故橢圓C的方程為  ③

解法二：直線.

設(shè)原點關(guān)于直線對稱點為（p，q），則

解得p=3.

∵橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上，

    ∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標(biāo)為（2，0）.

  故橢圓C的方程為  ③

（II）解法一：設(shè)M（），N（）.

當(dāng)直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得

 

點O到直線MN的距離

      

即

      

       即

       整理得

       當(dāng)直線m垂直x軸時，也滿足.

       故直線m的方程為

       或或

       經(jīng)檢驗上述直線均滿足.

所以所求直線方程為或或

解法二：設(shè)M（），N（）.

       當(dāng)直線m不垂直軸時，直線m：y=k(x+2)代入③，整理得

        

       ∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點，

       ∴|MN|=|ME|+|NE|=

    以下與解法一相同.

解法三：設(shè)M（），N（）.

       設(shè)直線，代入③，整理得

     

       |y₁-y₂|==

      

即

      

      

       ∴=，整理得      

       解得或

       故直線m的方程為或或

       經(jīng)檢驗上述直線方程為

       所以所求直線方程為或或