已知方向向量為
v
=(1，
3
)的直線l過點(0，-2
3
)和橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的右焦點，且橢圓的離心率為
6
3
．
（1）求橢圓C的方程：
（2）若已知點M，N是橢圓C上不重合的兩點，點D（3，0）滿足
DM
=λ
DN
，求實數(shù)λ的取值范圍．
分析：（1）先利用條件求出直線l的方程，找出橢圓的右焦點坐標，再利用橢圓的離心率為
6
3
，就可求出橢圓C的方程：
（2）把直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立找到關于點M，N縱坐標的方程，再利用
DM
=λ
DN
所給出的點M，N縱坐標之間的關系，二者聯(lián)立借助與判別式大于0就可求實數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（1）因為直線l的方向向量為
v
=(1，
3
)所以直線斜率為k=
3
，
又因為直線過點(0，-2
3
)
所以直線方程為y+2
3
=
3
x
因為a＞b，所以橢圓的右焦點為直線與軸的交點，∴橢圓的右焦點為（2，0），所以c=2
∵e=
c
a
=
6
3
，∴a=
6
，∴b2=a2-c2=2
∴橢圓方程為
x2
6
+
y2
2
=1
（2）由已知設直線MN的方程為x=my+3，
由
x2
6
+
y2
2
=1
x=my+3
?（m2+3）y2+6my+3=0，設M．N坐標分別為（x1，y1）（x2，y2）
則y1+y2=-
6m
m2+3
   ①y1y2=
3
m2+3
     ②
△=36m2-12（m2+3）＞0?m2＞
3
2

∵
DM
=（x1-3，y1），
DN
=（x2-3，y2），
DM
=λ
DN
，顯然λ＞0且λ≠1
∴（x1-3，y1）=λ（x2-3，y2）∴y1=λy2，
代入①②得  λ+
1
λ
=
12m2
m2+3
-2=10-
36
m2+3
，
∵m2＞
3
2
?2＜λ+
1
λ
＜10?
λ2-2λ+1＞0
λ2-10λ+1＜0

解得5-2
6
＜λ＜5+2
6
且λ≠1
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量共線問題．還涉及到直線的方程與斜率，考查運算能力與思維能力、綜合分析問題的能力．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知方向向量為v=（1，
3
）的直線l過點（0，-2
3
）和橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點E（-2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足
OM
•
ON
=
4
3
6
．cot∠MON≠0（O為原點）．若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知方向向量為
v
=（2，2
3
）的直線l過點（0，-2
3
）和橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上．
（1）寫出直線l的方程      
（2）求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知方向向量為
v
=(1，
3
)的直線l過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點以及點（0，-2
3
），橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上．
（1）求橢圓C的方程．
（2）是否存在過點E（-2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，使△MON的面積為
2
3
6
，（O為坐標原點）？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知方向向量為
V
=(1，
3
)的直線l過橢圓C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點以及點（0，-2
3
），直線l與橢圓C交于A、B兩點，且A、B兩點與另一焦點圍成的三角形周長為4
6
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F1且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點，
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
≠0（O坐標原點），求直線m的方程．

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