Question

已知平面直角坐標系xOy上的定點M（2，0）和定直線l：x=-

3

2

，動點P在直線l上的射影為Q，且4(

PQ

+

PM

)•(

PQ

-

PM

)+2

PM

•

OM

=1．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上兩個動點，

MA

=λ

MB

，λ∈R，∠AOB=θ，請把△AOB的面積S表示為θ的函數(shù)，并求此函數(shù)的定義域．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），根據(jù)4(

PQ

+

PM

)•(

PQ

-

PM

)+2

PM

•

OM

=1，可得4

PQ

2-4

PM

2-4(x-2)=1
即4(x+

3

2

)2-4[(x-2)2+y2]-4(x-2)=1，化簡可得y²=6x；
（2）由

FA

=λ

FB

知A、B、M共線，設(shè)AB的方程為x=my+2，與拋物線方程聯(lián)立消去x得y²-6my-12=0，從而可得△AOB的面積S表示為θ的函數(shù)，利用S=

1

2

|OM||y1-y2|=|y1-y2|≥2

|y1y2|

=4

3

，可確定函數(shù)的定義域．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y）
∵4(

PQ

+

PM

)•(

PQ

-

PM

)+2

PM

•

OM

=1．
∴4

PQ

2-4

PM

2-4(x-2)=1
∴4(x+

3

2

)2-4[(x-2)2+y2]-4(x-2)=1
整理得y²=6x；
（2）由

FA

=λ

FB

知A、B、M共線，設(shè)AB的方程為x=my+2，
與拋物線方程聯(lián)立消去x得y²-6my-12=0，
y₁y₂=-12，x₁x₂=

(y1y2)2

36

=4，

OA

•

OB

=-8．
S=

1

2

|

OA

||

OB

|sinθ=

1

2

×

OA

•

OB

tanθ=-4tanθ．
因為S=

1

2

|OM||y1-y2|=|y1-y2|≥2

|y1y2|

=4

3

，
所以-4tanθ≥4

3

，
即tanθ≤-

3

，解得

π

2

＜θ＜

2π

3

．

點評：本題以向量條件為載體，考查拋物線的方程，考查三角形面積的計算，正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．