Question

【題目】（14分）關于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）

（1）已知不等式的解集為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；

（2）解關于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．

Answer 1

【答案】（1） （2）當a=0時，不等式的解集為{x|x≤﹣1}，當a＞0時，不等式的解集為{x|x≥或x≤﹣1}，當﹣2＜a＜0時，不等式的解集為{x|≤x≤﹣1}，當a=﹣2時，不等式的解集為{x|x=﹣1}，當a＜﹣2時，不等式的解集為{x|﹣1≤x≤}．

【解析】試題分析：（1）且該不等式的解集為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式對應方程的兩個實數(shù)根為﹣1和2，從而可求出的值；（2）分四種情況討論的取值，分別根據(jù)一元二次不等式的解法求出對應不等式的解集即可.

試題解析：（1）∵關于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可變形為

（ax﹣2）（x+1）≥0，

且該不等式的解集為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），

∴a＞0；

又不等式對應方程的兩個實數(shù)根為﹣1和2；

∴=2，解得a=1；

（2）①a=0時，不等式可化為﹣2x﹣2≥0，它的解集為{x|x≤﹣1}；

②a≠0時，不等式可化為（ax﹣2）（x+1）≥0，

當a＞0時，原不等式化為（x﹣）（x+1）≥0，

它對應的方程的兩個實數(shù)根為和﹣1，且＞﹣1，

∴不等式的解集為{x|x≥或x≤﹣1}；

當a＜0時，不等式化為（x﹣）（x+1）≤0，

不等式對應方程的兩個實數(shù)根為和﹣1，

在﹣2＜a＜0時，＜﹣1，

∴不等式的解集為{x|≤x≤﹣1}；

在a=﹣2時，=﹣1，不等式的解集為{x|x=﹣1}；

在a＜﹣2時，＞﹣1，不等式的解集為{x|﹣1≤x≤}．

綜上，a=0時，不等式的解集為{x|x≤﹣1}，

a＞0時，不等式的解集為{x|x≥或x≤﹣1}，

﹣2＜a＜0時，不等式的解集為{x|≤x≤﹣1}，

a=﹣2時，不等式的解集為{x|x=﹣1}，

a＜﹣2時，不等式的解集為{x|﹣1≤x≤}