【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1= an+t,a1= (t為常數(shù),且t≠ ).
(1)證明:{an﹣2t}為等比數(shù)列;
(2)當(dāng)t=﹣ 時(shí),求數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)和最大?
(3)當(dāng)t=0時(shí),設(shè)cn=4an+1,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n , 若不等式 ≥2n﹣7對(duì)任意的n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)證明:∵數(shù)列{an}滿足an+1= an+t,a1= (t為常數(shù),且t≠ ),

= ,

又a1﹣2t=

∴{an﹣2t}是以 為首項(xiàng),以 為公比的等比數(shù)列


(2)解:當(dāng)t=﹣ 時(shí),{an+ }是以 為首項(xiàng),以 為公比的等比數(shù)列,

,

≥0,解得n≤2.

∴數(shù)列{an}的前2項(xiàng)和最大


(3)解:當(dāng)t=0時(shí),∴{an}是以 為首項(xiàng),以 為公比的等比數(shù)列,∴an=

cn=4an+1= +1,

∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和:

Tn= =4+n﹣ ,

∵不等式 ≥2n﹣7對(duì)任意的n∈N*恒成立,

∴3k≥ 對(duì)任意的n∈N*恒成立,

設(shè) ,由dn+1﹣dn= = ,

∴當(dāng)n≤4時(shí),dn+1>dn,

當(dāng)n≥4時(shí),dn+1<dn,

,

∴3k ,解得k

∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[


【解析】(1)由已知得 ,由此能證明{an﹣2t}是以 為首項(xiàng),以 為公比的等比數(shù)列.(2)當(dāng)t=﹣ 時(shí),{an+ }是以 為首項(xiàng),以 為公比的等比數(shù)列,求出 ,由此能求出數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)和最大.(3)當(dāng)t=0時(shí),an= ,cn=4an+1= +1,從而Tn=4+n﹣ ,由不等式 ≥2n﹣7對(duì)任意的n∈N*恒成立,得到3k≥ 對(duì)任意的n∈N*恒成立,由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí),掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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; .

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項(xiàng)目③:打開(kāi)過(guò)程中(如圖2),檢查;

項(xiàng)目④:打開(kāi)后(如圖3),檢查;

項(xiàng)目⑤:打開(kāi)后(如圖3),檢查

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A. B. C. D.

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