Question

【題目】 【2016高考新課標Ⅲ文數(shù)】已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點．

（I）若在線段上，是的中點，證明；

（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設出與軸垂直的兩條直線，然后得出的坐標，然后通過證明直線與直線的斜率相等即可證明結果了；（Ⅱ）設直線與軸的交點坐標，利用面積可求得，設出的中點，根據(jù)與軸是否垂直分兩種情況結合求解．

試題解析：由題設.設，則，且

.

記過兩點的直線為，則的方程為. .....3分

（Ⅰ）由于在線段上，故.

記的斜率為，的斜率為，則，

所以. ......5分

（Ⅱ）設與軸的交點為，

則.

由題設可得，所以（舍去），.

設滿足條件的的中點為.

當與軸不垂直時，由可得.

而，所以.

當與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方程為. ....12分