在平面直角坐標系中,點到點的距離比它到軸的距離多1,記點的軌跡為.
(1)求軌跡為的方程;
(2)設斜率為的直線過定點,求直線與軌跡恰好有一個公共點,兩個公共點,三個公共點時的相應取值范圍.
(1);(2)當時直線與軌跡恰有一個公共點; 當時,故此時直線與軌跡恰有兩個公共點; 當時,故此時直線與軌跡恰有三個公共點.
解析試題分析:(1)設點,根據(jù)條件列出等式,在用兩點間的距離公式表示,化簡整理即得;(2)在點的軌跡中,記,,設直線的方程為,聯(lián)立方程組整理得 ,分類討論①時;② ;③ 或;④ ,確定直線與軌跡的公共點的個數(shù).
(1)設點,依題意,,即,
整理的,
所以點的軌跡的方程為.
(2)在點的軌跡中,記,,
依題意,設直線的方程為,
由方程組得 ①
當時,此時,把代入軌跡的方程得,
所以此時直線與軌跡恰有一個公共點.
當時,方程①的判別式為 ②
設直線與軸的交點為,則由,令,得③
(。┤,由②③解得或.
即當時,直線與沒有公共點,與有一個公共點,
故此時直線與軌跡恰有一個公共點.
(ⅱ)若或,由②③解得或,
即當時,直線與有一個共點,與有一個公共點.
當時 ,直線與有兩
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為,為上頂點,為坐標原點,若△的面積為,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線交橢圓于,兩點, 且使點為△的垂心?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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給定橢圓,稱圓心在坐標原點O,半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”,已知橢圓C的兩個焦點分別是.
(1)若橢圓C上一動點滿足,求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(2)在(1)的條件下,過點作直線l與橢圓C只有一個交點,且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為,求P點的坐標;
(3)已知,是否存在a,b,使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點的直線的最短距離.若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
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已知橢圓經(jīng)過點,離心率為,左右焦點分別為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點,與以為直徑的圓交于兩點,且滿足,求直線的方程.
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(本小題滿分13分)
已知雙曲線的兩條漸近線分別為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)如圖,為坐標原點,動直線分別交直線于兩點(分別在第一,四象限),且的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在,說明理由.
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如圖,設橢圓動直線與橢圓只有一個公共點,且點在第一象限.
(1)已知直線的斜率為,用表示點的坐標;
(2)若過原點的直線與垂直,證明:點到直線的距離的最大值為.
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已知橢圓經(jīng)過點,離心率,直線與橢圓交于,兩點,向量,,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)當直線過橢圓的焦點(為半焦距)時,求直線的斜率.
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已知圓的方程為,定直線的方程為.動圓與圓外切,且與直線相切.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)直線與軌跡相切于第一象限的點, 過點作直線的垂線恰好經(jīng)過點,并交軌跡于異于點的點,求直線的方程及的長.
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已知直線與橢圓相交于兩點,點是線段上的一點,且點在直線上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若橢圓的焦點關于直線的對稱點在單位圓上,求橢圓的方程.
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